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Donc les quatre expressions dont il s’agit deviendront

${\begin{aligned}&{\sqrt[{5}]{\mathrm {A} +\mathrm {B} r'\ \ +\mathrm {C} r''\ +\mathrm {D} r'''+\mathrm {E} r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}\\&{\sqrt[{5}]{\mathrm {A} +\mathrm {B} r'''+\mathrm {C} r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\mathrm {D} r''\ +\mathrm {E} r'\ \ }}\\&{\sqrt[{5}]{\mathrm {A} +\mathrm {B} r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\mathrm {C} r'''+\mathrm {D} r'\ \ +\mathrm {E} r''\ }}\\&{\sqrt[{5}]{\mathrm {A} +\mathrm {B} r''\ +\mathrm {C} r'\ \ +\mathrm {D} r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\mathrm {E} r'''}}.\end{aligned}}$

35. Dans l’Article XXIII du même Mémoire, on trouve pour les racines de l’équation

$x^{5}-1=0$

ces expressions, dans lesquelles j’introduis, pour plus de simplicité, les mêmes lettres $p$ et $q$ Doi, ci-dessus,

${\frac {1}{4}}\left({\begin{aligned}-1\left.{\begin{aligned}&+\\&+\\&-\\&-\end{aligned}}\right\}\ \ {\sqrt {5}}\left.{\begin{aligned}&+\\&-\\&+\\&-\end{aligned}}\right\}\ \ q\left.{\begin{aligned}&+\\&-\\&-\\&+\end{aligned}}\right\}\ \ p\end{aligned}}\right).$

En prenant la première de ces racines pour $r',$ de sorte que l’on ait

$r'={\frac {1}{4}}\left(-1+{\sqrt {5}}+p+q\right),$

il faudra, d’après les formules du n^o 31, en prenant $\alpha$ pour $r',$ et substituant $p+q,$ $p-q$ pour $m,n,$ supposer

${\begin{aligned}r'''=&r'^{2}={\frac {1}{4}}\left(-1-{\sqrt {5}}+p-q\right),\\r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&r'^{3}={\frac {1}{4}}\left(-1-{\sqrt {5}}-p+q\right),\\r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ =&r'^{4}={\frac {1}{4}}\left(-1+{\sqrt {5}}-p-q\right).\end{aligned}}$

Substituant ces valeurs dans les expressions ci-dessus, elles se changeront en celles-ci

${\begin{aligned}&{\sqrt[{5}]{{\frac {1}{4}}\left(\mathrm {F} +\mathrm {G} {\sqrt {5}}+\mathrm {H} p+\mathrm {K} q\right)}},\\&{\sqrt[{5}]{{\frac {1}{4}}\left(\mathrm {F} -\mathrm {G} {\sqrt {5}}+\mathrm {K} p-\mathrm {H} q\right)}},\\&{\sqrt[{5}]{{\frac {1}{4}}\left(\mathrm {F} -\mathrm {G} {\sqrt {5}}-\mathrm {K} p+\mathrm {H} q\right)}},\\&{\sqrt[{5}]{{\frac {1}{4}}\left(\mathrm {F} +\mathrm {G} {\sqrt {5}}-\mathrm {H} p-\mathrm {K} q\right)}},\end{aligned}}$