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Si l’on fait $\mathrm {A} =196,$ on trouve

$\mathrm {B} =130,\quad \mathrm {C} =-90,\quad \mathrm {D} =-255,\quad \mathrm {E} =20,$

et la formule

${\sqrt[{5}]{\mathrm {A} +\mathrm {B} r'+\mathrm {C} r''+\mathrm {D} r'''+\mathrm {E} r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}$

du n^o 34 coïncidera avec celle de ${\sqrt[{5}]{-\theta '}}$ du n^o 30, parce que, en faisant $\alpha =r',$ on a $r''=\alpha ^{4},\ r'''=\alpha ^{2},\ r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=\alpha ^{3}$ (n^o 35), et les formules dérivées de celle-là coïncideront aussi avec celles de ${\sqrt[{5}]{-\theta ''}},{\sqrt[{5}]{-\theta '''}},{\sqrt[{5}]{-\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}.$

37. Prenons pour dernier exemple l’équation

$x^{13}-1=0.$

Comme $13-1=12=2.2.3,$ l’opération pourra se décomposer en trois de la manière suivante.

Il faut d’abord avoir une racine primitive pour le nombre $13,$ et la Table du n^o 4 fournit le nombre $2,$ dont les puissances successives jusqu’à la onzième, divisées par $13,$ donnent les restes $2,4,8,3,6,$ $12,11,9,5,10,7.$

Ainsi, en nommant $r$ une racine de l’équation

$x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+\ldots +1=0,$

les autres onze racines seront

$r^{2},\ \ r^{4},\ \ r^{8},\ \ r^{3},\ \ r^{6},\ \ r^{12},\ \ r^{11},\ \ r^{9},\ \ r^{5},\ \ r^{10},\ \ r^{7}.$

On fera donc, en général,

$t=r+\alpha r^{2}+\alpha ^{2}r^{4}+\alpha ^{3}r^{8}+\alpha ^{4}r^{3}+\alpha ^{5}r^{6}+\alpha ^{6}r^{12}+\alpha ^{7}r^{11}+\alpha ^{8}r^{9}$

$+\alpha ^{9}r^{5}+\alpha ^{10}r^{10}+\alpha ^{11}r^{7},$

et l’on prendra d’abord pour $\alpha$ une racine de l’équation

$y^{2}-1=0,$

en sorte que $\alpha ^{2}=1,$ ce qui réduira la fonction $t$ à la forme

$t=\mathrm {X'+\alpha X''} ,$

dans laquelle

${\begin{aligned}\mathrm {X} '\ =&r\ \,+r^{4}+r^{3}+r^{12}+r^{9}+r^{10},\\\mathrm {X} ''=&r^{2}+r^{8}+r^{6}+r^{11}+r^{5}+r^{7}.\end{aligned}}$