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De là on aura

$\theta =t^{2}=\xi ^{0}+\alpha \xi ,\quad \xi =\mathrm {X'^{2}+X''^{2},\quad \xi '=2X'X''} .$

On peut se dispenser de chercher la valeur de $\xi ^{0}$ en se servant de l’expression de du n^o 11, qui ne renferme pas $\xi ^{0}$ et qui donne ici, à cause de $\nu =2$ et de $s=-1,$ somme des racines de l’équation proposée, $\theta =1+(\alpha -1)\xi ',$ de sorte qu’en faisant $\alpha =-1$ on aura la valeur de $\theta ',$ et les deux racines $\mathrm {X',X''}$ seront (numéro cité)

$\mathrm {X} '={\frac {-1+{\sqrt {1-2\xi '}}}{2}},\quad \mathrm {X} ''={\frac {-1-{\sqrt {1-2\xi '}}}{2}}.$

Pour avoir la valeur de $\xi ',$ il faut développer le produit $\mathrm {X'X''}$ en punissances de $r,$ ayant soin de rabaisser les puissances supérieures à $r^{12},$ à cause de $r^{13}=1,$ et l’on trouve $\mathrm {X'X''} =3s,$ en mettant $s$ pour la somme des racines $r,r^{2},r^{4},\ldots ,$ laquelle est $=-1,$ de sorte qu’on aura $\xi '=-6,$ et les valeurs de $\mathrm {X',X''}$ seront

$\mathrm {X} '={\frac {-1+{\sqrt {-11}}}{2}},\quad \mathrm {X} ''={\frac {-1-{\sqrt {-11}}}{2}}.$

38. On regardera maintenant les six racines qui composent la quantité $\mathrm {X} '$ comme celles d’une équation du sixième degré, et l’on fera de nouveau

$t_{1}=r+\alpha r^{4}+\alpha ^{2}r^{3}+\alpha ^{3}r^{12}+\alpha ^{4}r^{9}+\alpha ^{5}r^{10}\,;$

mais, au lieu de prendre en général pour $\alpha$ une racine de l’équation

$y^{6}-1=0,$

ce qui demanderait ensuite le développement de la sixième puissance du polynôme $t_{1}\,;,$ nous prendrons de nouveau une racine de l’équation

$y^{2}-1=0,$

de sorte que, au moyen de $\alpha ^{2}=1,$ la fonction $t_{1},$ redeviendra de la forme

$t_{1}=\mathrm {X} '_{1}+\alpha \mathrm {X} ''_{1},$

dans laquelle on aura

$\mathrm {X} '_{1}=r+r^{3}+r^{9},\quad \mathrm {X} ''_{1}=r^{4}+r^{12}+r^{10}.$