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On aura ensuite, comme ci-dessus,

$\theta _{1}=t_{1}^{2}=\xi _{1}^{0}+\alpha \xi '_{1},\quad \xi _{1}^{0}=\mathrm {X_{1}^{'2}+X_{1}^{''2},\quad \xi '_{1}=2X'_{1}X''_{1}} .$

et, à cause que la somme des racines est ici $\mathrm {X} ',$ on aura sur-le-champ

$\mathrm {X} '_{1}={\frac {\mathrm {X} '+{\sqrt {\theta '_{1}}}}{2}},\quad \mathrm {X} ''_{1}={\frac {\mathrm {X} '-{\sqrt {\theta '_{1}}}}{2}}\,;$

on aura en même temps $\theta _{1}=\mathrm {X} '^{2}+(\alpha -1)\xi '_{1}$ et, faisant $\alpha =-1,$ $\theta '_{1}=\mathrm {X} '^{2}-2\xi '_{1}.$

Pour avoir $\xi '_{1},$ il faudra développer le produit de $\mathrm {X} '_{1}$ par $\mathrm {X} ''_{1}\,;,$ en se souvenant toujours que $r^{13}=1,$ et l’on trouvera

$\mathrm {X'_{1}X''_{1}=3+X''} ,$

ce qui donnera

$\xi '_{1}=6+2\mathrm {X} '',$

et par conséquent

${\begin{aligned}\mathrm {X} '_{1}\ =&\mathrm {\frac {X'+{\sqrt {X'^{2}-12-4X''}}}{2}} ,\\\mathrm {X} ''_{1}=&\mathrm {\frac {X'-{\sqrt {X'^{2}-12-4X''}}}{2}} .\end{aligned}}$

39. Nous remarquerons ici que, comme en mettant $r^{2}$ au lieu de $r$ la fonction $\mathrm {X} '$ devient $\mathrm {X} ''$ et la fonction $\mathrm {X} ''$ devient $\mathrm {X} ',$ si l’on dénote par $\mathrm {(X'_{1}),(X''_{1})}$ ce que deviennent les fonctions $\mathrm {X'_{1},X''_{1}}$ en y substituant $r^{2}$ au lieu de $r$ dans toutes les puissances de $r,$ ce qui donne

$(\mathrm {X} '_{1})=r^{2}+r^{6}+r^{5},\quad (\mathrm {X} ''_{1})=r^{8}+r^{11}+r^{7},$

on aura les valeurs de $\mathrm {(X'_{1}),(X''_{1})}$ en échangeant dans celles de $\mathrm {X'_{1},X''_{1}}$ les quantités $\mathrm {X',X''}$ entre elles. On trouvera ainsi

${\begin{aligned}(\mathrm {X} '_{1})\ =&\mathrm {\frac {X''+{\sqrt {X''^{2}-12-4X'}}}{2}} ,\\(\mathrm {X} ''_{1})=&\mathrm {\frac {X''-{\sqrt {X''^{2}-12-4X'}}}{2}} .\end{aligned}}$

Ce sont les fonctions correspondantes à $\mathrm {X'_{1},X''_{1}}$ qu’on obtiendrait en