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procédant à l’égard des racines qui composent la fonction $\mathrm {X} ''$ comme on a fait sur celles de $\mathrm {X} '.$ Ces valeurs sont nécessaires pour parvenir à celles de $r$.

40. Pour cet effet, il faut encore regarder les trois racines qui composent la fonction $\mathrm {X} '_{1}$ comme celles d’une équation du troisième degré, et faire, en conséquence,

$t_{2}=r+\alpha r^{3}+\alpha ^{2}r^{9},$

en prenant pour $\alpha$ une racine de l’équation $y^{3}-1=0.$

De là, on formera la fonction

$\theta _{2}=t_{2}^{3}=\xi _{2}^{0}+\alpha \xi '_{2}+\alpha ^{2}\xi ''_{2},$

et l’on trouvera, par le développement, en faisant $\alpha ^{3}=1$ et $r^{13}=1,$ ces expressions

$\xi _{2}^{0}=6+\mathrm {X} '_{1},\quad \xi '_{2}=3(\mathrm {X} '_{1}),\quad \xi ''_{2}=3(\mathrm {X} ''_{1}).$

Donc, nommant $\alpha$ et $\beta$ les deux racines de l’équation

$y^{2}+y+1=0,$

et faisant

${\begin{aligned}\theta '_{2}\,=&6+\mathrm {X} '_{1}+3\alpha (\mathrm {X} '_{1})+3\alpha ^{2}(\mathrm {X} ''_{1}),\\\theta ''_{2}=&6+\mathrm {X} '_{1}+3\beta \,(\mathrm {X} '_{1})+3\beta ^{2}(\mathrm {X} ''_{1}),\end{aligned}}$

on aura, comme dans le n^o 23,

$r={\frac {\mathrm {X} '_{1}+{\sqrt[{3}]{\theta '_{2}}}+{\sqrt[{3}]{\theta ''_{2}}}}{3}}.$

Ainsi la valeur de $r$ est entièrement déterminée ; nous ne chercherons pas à la simplifier, parce que, dans tous les cas, il est toujours plus avantageux d’employer pour la résolution de l’équation

$x^{13}-1=0,$

ainsi que de toutes les équations de ce genre, les formules connues en sinus et cosinus.