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Fractions plus petites.

${\frac {0}{1}},\quad \qquad {\frac {1}{1}},\quad \qquad {\frac {2}{1}},\quad \qquad {\frac {3}{1}},\ \ldots ,\ \ \qquad {\frac {p}{1}},\qquad \ldots ,\quad \left({\frac {\alpha }{\alpha '}}\right),$

${\begin{array}{ccccccc}{\cfrac {\beta +\alpha }{\beta '+\alpha '}},&{\cfrac {2\beta +\alpha }{2\beta '+\alpha '}},&{\cfrac {3\beta +\alpha }{3\beta '+\alpha '}},&\ldots ,&{\cfrac {r\beta +\alpha }{r\beta '+\alpha '}},&\ldots ,&\left({\cfrac {\gamma }{\gamma '}}\right),\\{\cfrac {\delta +\gamma }{\delta '+\gamma '}},&{\cfrac {2\delta +\gamma }{2\delta '+\gamma '}},&{\cfrac {3\delta +\gamma }{3\delta '+\gamma '}},&\ldots ,&{\cfrac {t\delta +\gamma }{t\delta '+\gamma '}},&\ldots ,&\left({\cfrac {\varepsilon }{\varepsilon '}}\right),\\\ldots \ldots ,&\ldots \ldots ,&\ldots \ldots ,&\ldots ,&\ldots \ldots ,&\ldots ,&\ldots .\end{array}}$

Fractions plus grandes.

${\frac {1}{0}},\ \,{\frac {\alpha +1}{\alpha '+1}},\ \,{\frac {2\alpha +1}{2\alpha '+1}},\ \,{\frac {3\alpha +1}{3\alpha '+1}},\,\ \ \ldots ,\quad {\frac {q\alpha +1}{q\alpha '+1}},\quad \ldots ,\quad \left({\frac {\beta }{\beta '}}\right),$

${\begin{array}{ccccccc}{\cfrac {\gamma +\beta }{\gamma '+\beta '}},&{\cfrac {2\gamma +\beta }{2\gamma '+\beta '}},&{\cfrac {3\gamma +\beta }{3\gamma '+\beta '}},&\ldots ,&{\cfrac {s\gamma +\beta }{s\gamma '+\beta '}},&\ldots ,&\left({\cfrac {\delta }{\delta '}}\right),\\\ldots \ldots ,&\ldots \ldots ,&\ldots \ldots ,&\ldots ,&\ldots \ldots ,&\ldots ,&\ldots .\end{array}}$

Quant à la nature de ces fractions, il est facile de prouver, comme nous l’avons fait par rapport aux fractions principales : 1^o que chacune de ces fractions sera déjà réduite à ses moindres termes ; d’où il s’ensuit que, comme les numérateurs et les dénominateurs vont en augmentant, ces fractions se trouveront toujours exprimées par des termes plus grands à mesure qu’elles s’éloigneront du commencement de la série ; 2^o que chaque fraction de la première série approchera de la valeur de $x$ plus qu’aucune autre fraction quelconque qui serait moindre que cette valeur et qui aurait un dénominateur plus petit que celui de la même fraction ; et que, de même, chaque fraction de la seconde série approchera plus de la valeur de $x$ que ne pourrait faire toute autre fraction qui serait plus grande que cette valeur et qui aurait un dénominateur plus petit que celui de la même fraction.

En effet, s’il y avait une fraction comme ${\frac {\mu }{\mu '}}$ plus petite que la valeur de $x$ et en même temps plus approchante de cette valeur que la fraction ${\frac {3\beta +\alpha }{3\beta '+\alpha '}},$ par exemple, en supposant $3\beta '+\alpha '>\mu ',$ il faudrait,