Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 8.djvu/45

à cause que la fraction ${\frac {\beta }{\beta '}}$ est plus grande que la valeur dont il s’agit, que la quantité ${\frac {\mu }{\mu '}}$ se trouvât entre les deux quantités

${\frac {3\beta +\alpha }{3\beta '+\alpha '}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {\beta }{\beta '}}\,;$

donc la quantité

${\frac {\mu }{\mu '}}-{\frac {3\beta +\alpha }{3\beta '+\alpha '}}$

devrait être

$<{\frac {\beta }{\beta '}}-{\frac {3\beta +\alpha }{3\beta '+\alpha '}}<{\frac {\beta \alpha '-\alpha \beta '}{\beta '(3\beta '+\alpha ')}}<{\frac {1}{\beta '(3\beta '+\alpha ')}}\,;$

donc il faudrait que $\mu (3\beta '+\alpha ')-\mu '(3\beta +\alpha )$ fût $<{\frac {\mu '}{\beta '}}<1,$ ce qui ne se peut.

Au reste, il peut arriver qu’une fraction d’une série n’approche pas si près qu’une autre de l’autre série, quoique conçue en termes moins simples ; mais cela n’arrive jamais quand la fraction qui a le plus grand dénominateur est une fraction principale (n^o 23).