Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 8.djvu/48

et supposant $u=1,2,\ldots ,$ j’aurai les résultats $-71,+293,\ldots \,;$ donc $s=1,$ et ainsi de suite.

En continuant de cette manière, on trouvera les nombres

$2,\ \ 10,\ \ 1,\ \ 1,\ \ 2,\ \ 1,\ \ 3,\ \ 1,\ \ 1,\ \ 12,\ \ \ldots ,$

de sorte que la racine cherchée sera exprimée par cette fraction continue

$x=2+{\frac {1}{10+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1+}{2+\ddots }}}}}},$

d’où l’on tirera les fractions (n^o 23)

${\frac {2}{1}},\ \ {\frac {21}{10}},\ \ {\frac {23}{11}},\ \ {\frac {44}{21}},\ \ {\frac {111}{53}},\ \ {\frac {155}{74}},\ \ {\frac {576}{275}},\ \ {\frac {731}{349}},\ \ {\frac {1307}{624}},\ \ {\frac {16415}{7837}},\ \ \ldots ,$

lesquelles seront alternativement plus petites et plus grandes que la valeur de $x$.

La dernière fraction ${\frac {16415}{7837}}$ est plus grands que la racine cherchée ; mais l’erreur sera moindre que ${\frac {1}{(7837)^{2}}}$ (n^o 23, 2^o), c’est-à-dire moindre que $0{,}000\,000\,0163\,;$ donc, si l’on réduit la fraction ${\frac {16415}{7837}}$ en fraction décimale, elle sera exacte jusqu’à la septième décimale ; or, en faisant la division, on trouve $2{,}094\,551\,486\,5\ldots \,;$ ainsi la racine cherchée sera entre les nombres $2{,}094\,551\,49$ et $2{,}094\,551\,47.$

Newton a trouvé par sa méthode la fraction $2{,}094\,551\,47$ (voir sa Méthode des suites infinies), d’où l’on voit que cette méthode donne dans ce cas un résultat fort exact ; mais on aurait tort de se promettre toujours une pareille exactitude.

26. Quant aux deux autres racines de la même équation nous avons déjà vu qu’elles doivent être imaginaires ; néanmoins, si l’on voulait en trouver la valeur, on le pourrait par la méthode du n^o 17.

Pour cela, on reprendra l’équation en $\upsilon$ trouvée ci-dessus, et, en y