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changeant $\upsilon$ en $-\scriptstyle {\mathcal {W}},$ et changeant ensuite tous les signes, on aura

$\scriptstyle {\mathcal {W}}\displaystyle ^{3}+12\scriptstyle {\mathcal {W}}\displaystyle ^{2}+36\scriptstyle {\mathcal {W}}\displaystyle -643=0,$

et il ne s’agira plus que de chercher une racine réelle et positive de cette équation. Or, puisqu’elle a son dernier terme négatif, elle aura nécessairement une telle racine, dont on pourra trouver la valeur entière la plus approchée par la substitution successive des nombres naturels $0,1,2,3,\ldots$ (n^o 3). En effet, en faisant $\scriptstyle {\mathcal {W}}\displaystyle =5,$ on aura le résultat $-38,$ et en faisant $\scriptstyle {\mathcal {W}}\displaystyle =6,$ on aura $+221\,;$ ainsi la valeur entière la plus approchée de la racine positive de cette équation sera $5.$

On fera donc maintenant $\scriptstyle {\mathcal {W}}\displaystyle =5+{\frac {1}{u}},$ et, en substituant, on aura, après avoir changé les signes,

$38u^{3}-231u^{2}-27u-1=0.$

Faisant successivement $u=0,1,2,\ldots ,$ on trouvera, pour $u=6$ et $u=7,$ les résultats $-271,+1525\,;$ donc $6$ sera la valeur entière approchée de $u$.

On fera donc $u=6+{\frac {1}{x}},$ et l’on aura, en substituant et changeant les signes,

$271x^{3}-1305x^{2}-453x-38=0.$

En faisant successivement $x=0,1,2,\ldots ,$ on trouvera des résultats négatifs jusqu’à la supposition de $x=6,$ qui donne $8837$ pour résultat, de sorte que $5$ sera la valeur entière approchée de $x.$

On fera donc $x=5+{\frac {1}{y}}\,;$ substituant et réduisant, on aura

$1053y^{3}-6822y^{2}-2760y-271=0,$

et l’on trouvera $6$ pour la valeur approchée de $y$, et ainsi de suite.

De cette manière, on approchera de plus en plus de la valeur de $\scriptstyle {\mathcal {W}},$ laquelle se trouvera exprimée par la fraction continue

$\scriptstyle {\mathcal {W}}\displaystyle =5+{\frac {1}{6+{\cfrac {1}{5+{\cfrac {1}{6+\ddots }}}}}},$