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et, de là,

$a_{1}=42,\quad a_{2}=882,\quad a_{3}=18669,$

et enfin

$a=42,\quad b=441,\quad c=49,$

de sorte que l’équation en $\upsilon$ sera

$\upsilon ^{3}-42\upsilon ^{2}+441\upsilon -49=0.$

Puisque les signes de cette équation sont alternatifs, c’est une marque que la proposée peut avoir toutes ses racines réelles (n^o 16) ; et, comme d’ailleurs cette équation n’est point divisible par $\upsilon ,$ il s’ensuit que l’équation en $x$ n’aura point de racines égales (n^o 15).

On fera maintenant (n^o 11) $\upsilon ={\frac {1}{y}},$ et, ordonnant l’équation par rapport à $y,$ on aura

$y^{3}-9y^{2}+{\frac {42}{49}}y-{\frac {1}{49}}=0.$

Le plus grand coefficient négatif étant $9,$ on pourrait prendre $l=10$ (n^o 12) mais on peut trouver une limite plus rapprochée en cherchant le plus petit nombre entier qui rendra positives ces trois quantités

${\begin{aligned}l^{3}&-9l^{2}+{\frac {42}{49}}l-{\frac {1}{49}},\\3l^{2}&-18l+{\frac {42}{49}},\\3l&-9,\end{aligned}}$

et l’on trouvera que $l=9$ satisfait à ces conditions ; de sorte qu’on aura $k=3$ (n^o 11), et par conséquent $\Delta ={\frac {1}{3}}.$

On mettra donc (n^o 13, 2^o), dans l’équation proposée, ${\frac {x}{3}}$ à la place de $x,$ ce qui la réduira à celle-ci :

$x^{3}-63x+189=0,$