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${\begin{array}{rl}\left(\alpha -a+\beta {\sqrt {-1}}\right)^{2},&\left(\alpha -a-\beta {\sqrt {-1}}\right)^{2},\\\left(\alpha -b+\beta {\sqrt {-1}}\right)^{2},&\left(\alpha -b-\beta {\sqrt {-1}}\right)^{2},\\\left(\alpha -c+\beta {\sqrt {-1}}\right)^{2},&\left(\alpha -c-\beta {\sqrt {-1}}\right)^{2},\\\left(\alpha -d+\beta {\sqrt {-1}}\right)^{2},&\left(\alpha -d-\beta {\sqrt {-1}}\right)^{2},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\left(\gamma -a+\delta {\sqrt {-1}}\right)^{2},&\left(\gamma -a-\delta {\sqrt {-1}}\right)^{2},\\\left(\gamma -b+\delta {\sqrt {-1}}\right)^{2},&\left(\gamma -b-\delta {\sqrt {-1}}\right)^{2},\\\left(\gamma -c+\delta {\sqrt {-1}}\right)^{2},&\left(\gamma -c-\delta {\sqrt {-1}}\right)^{2},\\\left(\gamma -d+\delta {\sqrt {-1}}\right)^{2},&\left(\gamma -d-\delta {\sqrt {-1}}\right)^{2},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\left[\alpha -\gamma +(\beta -\delta ){\sqrt {-1}}\right]^{2},&\left[\alpha -\gamma -(\beta -\delta ){\sqrt {-1}}\right]^{2},\\\left[\alpha -\gamma +(\beta +\delta ){\sqrt {-1}}\right]^{2},&\left[\alpha -\gamma -(\beta +\delta ){\sqrt {-1}}\right]^{2},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\end{array}}$

lesquels seront, par conséquent, les racines de l’équation des différences.

Soit $m$ le degré de l’équation proposée, qui est égal au nombre des racines

$a,\ \ b,\ \ c,\ \ \ldots ,\ \ \alpha +\beta {\sqrt {-1}},\ \ \alpha -\beta {\sqrt {-1}},\ \ \gamma +\delta {\sqrt {-1}},\ \ \gamma -\delta {\sqrt {-1}},\ \ \ldots \,;$

celui de l’équation des différences sera (n^o 8)

${\frac {m(m-1)}{2}}=n.$

Soit $p$ le nombre des racines réelles $a,b,c,\ldots ,$ et $2q$ celui des racines imaginaires

$\alpha +\beta {\sqrt {-1}},\quad \alpha -\beta {\sqrt {-1}},\quad \gamma +\delta {\sqrt {-1}},\quad \gamma -\delta {\sqrt {-1}},\quad \ldots ,$

en sorte que $m=p+2q\,;$ il est facile de voir, par la Table précédente, que, parmi les $n$ racines de l’équation des différences, il y en aura nécessairement ${\frac {p(p-1)}{2}}$ de réelles et positives, $q$ de réelles et négatives, et $2q(p+q-1)$ d’imaginaires.