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33. Qu’on fasse maintenant le produit de toutes ces racines, et il est visible que le produit des ${\frac {p(p-1)}{2}}$ racines positives sera toujours positif ; que celui des $q$ racines négatives sera positif ou négatif, suivant que le nombre $q$ sera pair ou impair ; qu’enfin le produit des $2q(p+q-1)$ racines imaginaires sera toujours positif ; en effet, ces dernières racines étant deux à deux de la forme

$\mathrm {\left(A+B{\sqrt {-1}}\right)} ^{2},\quad \mathrm {\left(A-B{\sqrt {-1}}\right)} ^{2},$

leurs produits deux à deux seront de la forme

$\mathrm {\left(A^{2}+B^{2}\right)} ^{2},$

et par conséquent positifs ; donc le produit de toutes ces racines ensemble sera toujours aussi positif.

Donc le produit total sera nécessairement positif ou négatif, suivant que $q$ sera pair ou impair.

Mais le dernier terme d’une équation est, comme l’on sait, égal au produit de toutes ses racines avec le signe $+$ ou $-,$ suivant que le nombre des racines est pair ou impair.

Donc le dernier terme de l’équation des différences, dont le degré est $n,$ sera nécessairement positif si $n$ et $q$ sont tous deux pairs ou tous deux impairs, et négatif si l’un de ces nombres est pair et l’autre impair.

34. Or, si $n$ et $q$ sont tous deux pairs ou impairs, $n-q$ sera nécessairement pair, et si $n$ et $q$ sont l’un pair et l’autre impair, $n-q$ sera nécessairement impair ; mais, à cause de

$n={\frac {m(m-1)}{2}}\quad {\text{et de}}\quad m=p+2q,$

on a

$n-q={\frac {p(p-1)}{2}}+2q(p+q-1),$

de sorte que $n-q$ sera toujours pair ou impair, suivant que ${\frac {p(p-1)}{2}}$ le sera.