Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 8.djvu/72

mettons au lieu de $x_{1}$ dans le second membre de cette équations, sa valeur $\lambda _{2}+{\frac {1}{x_{2}}},$ et, multipliant par $x_{2},$ on aura

$xx_{1}x_{2}=(\lambda _{2}l_{1}+l)x_{2}+l_{1}=l_{2}x_{2}+l_{1}\,;$

on trouvera de même, en substituant dans le second membre de cette équation $\lambda _{3}+{\frac {1}{x_{3}}}$ à la place de $x_{2},$

$xx_{1}x_{2}x_{3}=l_{3}x_{3}+l_{2},$

et ainsi de suite.

Pareillement l’équation

$x_{1}=\lambda _{2}+{\frac {1}{x_{2}}}$

donnera

$x_{1}x_{2}=\lambda _{2}x_{2}+1=\mathrm {L} _{2}x_{2}+\mathrm {L} _{1}\,;$

ensuite, substituant dans le second mémbre $\lambda _{3}+{\frac {1}{x_{3}}}$ à la place de $x_{2},$ et multipliant par $x_{3},$ on aura

$x_{1}x_{2}x_{3}=(\lambda _{3}\mathrm {L_{2}+L_{1}} )x_{3}+\mathrm {L} _{2}=\mathrm {L} _{3}x_{3}+\mathrm {L} _{2},$

et ainsi de suite.

D’où il s’ensuit qu’on aura en général, quelle que soit la fraction continue, soit périodique ou non,

(B)

$\left\{{\begin{aligned}xx_{1}x_{2}x_{3}\ldots x_{\rho }=&l_{\rho }\ x_{\rho }+l_{\rho -1},\\x_{1}x_{2}x_{3}\ldots x_{\rho }=&\mathrm {L} _{\rho }x_{\rho }+\mathrm {L} _{\rho -1}.\end{aligned}}\right.$

48. Cela posé, supposons que l’on ait trouvé, par exemple,

$x_{\mu +\nu }=x_{\mu },$

c’est-à-dire que la racine de la $(\mu +\nu )$^ième transformée soit égale à celle de la transformée $\mu$^ième ; alors on aura aussi

$x_{\mu +\nu +1}=x_{\mu +1},\quad x_{\mu +\nu +2}=x_{\mu +2},\quad \ldots ,\quad x_{\mu +2\nu }=x_{\mu },\quad \ldots ,$

et en général

$x_{\mu +n\nu +\varpi }=x_{\mu +\varpi }\,;$