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donc aussi

$\lambda _{\mu +\nu +1}=\lambda _{\mu +1},\quad \lambda _{\mu +\nu +2}=\lambda _{\mu +2},\quad \ldots ,$

et en général

$\lambda _{\mu +n\nu +\varpi }=\lambda _{\mu +\varpi }\,;$

de sorte que l’on aura

$x=\lambda _{1}+{\frac {1}{\lambda _{2}+\ddots +{\cfrac {1}{\lambda _{\mu }+{\cfrac {1}{\lambda _{\mu +1}+{\cfrac {1}{\lambda _{\mu +2}+\ddots +{\cfrac {1}{\lambda _{\mu +\nu }+{\cfrac {1}{\lambda _{\mu +1}+\ddots }}}}}}}}}}}}.$

Maintenant, si l’on suppose en général

$\rho =\mu +n\nu +\varpi ,$

il est facile de voir que les deux équations (B) du numéro précédent deviendront

${\begin{aligned}xx_{1}x_{2}\ldots x_{\mu }\times x_{\mu +1}x_{\mu +2}\ldots x_{\mu +\varpi }\times \left(x_{\mu +1}x_{\mu +2}\ldots x_{\mu +\nu }\right)^{n}=&l_{\rho }\ x_{\mu +\varpi }+l_{\rho -1},\\x_{1}x_{2}\ldots x_{\mu }\times x_{\mu +1}x_{\mu +2}\ldots x_{\mu +\varpi }\times \left(x_{\mu +1}x_{\mu +2}\ldots x_{\mu +\nu }\right)^{n}=&\mathrm {L} _{\rho }x_{\mu +\varpi }+\mathrm {L} _{\rho -1}.\end{aligned}}$

Or, en faisant dans les mêmes équations $\rho =\mu ,$ on a

${\begin{aligned}xx_{1}x_{2}\ldots x_{\mu }=&l_{\mu }\ x_{\mu }+l_{\mu -1},\\x_{1}x_{2}\ldots x_{\mu }=&\mathrm {L} _{\mu }x_{\mu }+\mathrm {L} _{\mu -1}.\end{aligned}}$

De plus, à cause de

$x_{\mu }=\lambda _{\mu +1}+{\frac {1}{x_{\mu +1}}},\quad x_{\mu +1}=\lambda _{\mu +2}+{\frac {1}{x_{\mu +2}}},\quad \ldots ,$

il est clair que, si l’on fait

(C)

$\left\{{\begin{aligned}h\ \ &=1,&\mathrm {H} \ \ &=0,\\h_{1}&=\lambda _{\mu +1},&\mathrm {H} _{1}&=1,\\h_{2}&=\lambda _{\mu +2}h_{1}+h,&\mathrm {H} _{2}&=\lambda _{\mu +2}\mathrm {H} _{1},\\h_{3}&=\lambda _{\mu +3}h_{2}+h_{1},&\mathrm {H} _{3}&=\lambda _{\mu +3}\mathrm {H_{2}+H_{1}} ,\\h_{4}&=\lambda _{\mu +4}h_{3}+h_{2},\qquad &\mathrm {H} _{4}&=\lambda _{\mu +4}\mathrm {H_{3}+H_{2}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$