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et cette équation sera nécessairement un diviseur de l’équation proposée.

ARTICLE II.

Où l’on donne une manière très-simple de réduire en fractions continues les racines des équations du second degré.

52. Considérons l’équation générale du second degré

$\mathrm {E} _{1}x^{2}-2\varepsilon x-\mathrm {E} =0,$

dans laquelle $\mathrm {E,E_{1}}$ et $\varepsilon$ sont supposés des nombres entiers, tels que $\varepsilon ^{2}+\mathrm {EE_{1}} >0,$ pour que les racines soient réelles ; cette équation, étant résolue, donne

$x=\mathrm {\frac {\varepsilon +{\sqrt {\varepsilon ^{2}+EE_{1}}}}{E_{1}}} ,$

où le radical peut être pris positivement ou négativement. Supposons que la racine cherchée soit positive, et soit $\lambda _{1},$ le nombre entier qui sera immédiatement plus petit que la valeur de $x\,;$ on fera donc

$x=\lambda _{1}+{\frac {1}{x_{1}}},$

et, substituant cette valeur dans l’équation proposée, on aura une équation transformée dont l’inconnue sera $x_{1}\,;$ or, si, après avoir fait la substitution, on multiplie toute l’équation par $x_{1}^{2},$ qu’ensuite on change les signes et qu’on suppose, pour abréger,

${\begin{aligned}\varepsilon _{1}\ =&\lambda _{1}\mathrm {E} _{1}-\varepsilon ,\\\mathrm {E} _{2}=&\mathrm {E} +2\varepsilon \lambda _{1}-\mathrm {E} _{1}\lambda _{1}^{2},\end{aligned}}$

on aura la transformée

$\mathrm {E} _{2}x_{1}^{2}-2\varepsilon _{1}x_{1}-\mathrm {E} _{1}=0,$

laquelle donnera

$x_{1}=\mathrm {\frac {\varepsilon _{1}+{\sqrt {\varepsilon _{1}^{2}+E_{1}E_{2}}}}{E_{2}}} \,;$