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on cherchera donc le nombre entier $\lambda _{2},$ qui sera immédiatement plus petit que cette valeur de $x_{1},$ et l’on fera

$x_{1}=\lambda _{2}+{\frac {1}{x_{2}}},$

et ainsi de suite.

Maintenant, je remarque que la quantité $\varepsilon _{1}^{2}+\mathrm {E_{1}E_{2}} ,$ qui est sous le signe dans l’expression de $x_{1},$ devient, en substituant les valeurs de $\varepsilon _{1}$ et de $\mathrm {E} _{2},$ et ôtant ce qui se détruit, celle-ci $\varepsilon ^{2}+\mathrm {EE_{1}} ,$ qui est la même que celle qui est sous le signe dans l’expression de $x\,;$ d’où il est facile de conclure que la quantité radicale sera toujours la même dans les expressions de $x,x_{1},x_{2},\ldots .$

Donc, si l’on suppose, pour abréger,

$\mathrm {B=\varepsilon ^{2}+EE_{1}} ,$

et qu’on fasse (le signe $<$ dénote qu’il faut prendre le nombre entier qui est immédiatement moindre)

${\begin{alignedat}{3}&&\lambda _{1}&<\mathrm {\frac {\varepsilon \ +{\sqrt {B}}}{E_{1}}} ,&\varepsilon _{1}&=\lambda _{1}\mathrm {E} _{1}-\varepsilon ,\\\mathrm {E} _{2}&=\mathrm {E} \ +2\varepsilon \ \lambda _{1}-\mathrm {E} _{1}\lambda _{1}^{2},\qquad &\lambda _{2}&<\mathrm {\frac {\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}}{E_{2}}} ,\qquad &\varepsilon _{2}&=\lambda _{2}\mathrm {E} _{2}-\varepsilon _{1},\\\mathrm {E} _{3}&=\mathrm {E} _{1}+2\varepsilon _{1}\lambda _{2}-\mathrm {E} _{2}\lambda _{2}^{2},&\lambda _{3}&<\mathrm {\frac {\varepsilon _{2}+{\sqrt {B}}}{E_{3}}} ,&\varepsilon _{3}&=\lambda _{3}\mathrm {E} _{3}-\varepsilon _{2},\\\mathrm {E} _{4}&=\mathrm {E} _{2}+2\varepsilon _{2}\lambda _{3}-\mathrm {E} _{3}\lambda _{3}^{2},&\lambda _{4}&<\mathrm {\frac {\varepsilon _{3}+{\sqrt {B}}}{E_{4}}} ,&\varepsilon _{4}&=\lambda _{4}\mathrm {E} _{4}-\varepsilon _{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

on aura

${\begin{aligned}x\,\ &=\mathrm {\frac {\varepsilon \,\ +{\sqrt {B}}}{E_{1}}} =\lambda _{1}+{\frac {1}{x_{1}}},\\x_{2}&=\mathrm {\frac {\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}}{E_{2}}} =\lambda _{2}+{\frac {1}{x_{2}}},\\x_{3}&=\mathrm {\frac {\varepsilon _{2}+{\sqrt {B}}}{E_{3}}} =\lambda _{3}+{\frac {1}{x_{3}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$