d’où
Quant au radical il faudra toujours lui donner le même signe qu’on lui a supposé dans la valeur de la racine, cherchée .
On peut observer encore que, comme on a trouvé
on aura
et de même
Ainsi l’on pourra, si on le juge plus commode, employer ces formules à la place de celles qu’on a données plus haut, pour avoir les valeurs de
53. Maintenant je dis que la fraction continue qui exprime la valeur de sera toujours nécessairement périodique.
Pour pouvoir démontrer ce théorème, nous commencerons par prouver en général que, quelle que soit l’équation proposée, on doit toujours nécessairement arriver à des équations transformées dont le premier et le dernier terme soient de signes différents. En effet, nous avons vu dans le no 19 qu’on doit toujours nécessairement arriver à une équation transformée qui n’ait qu’une seule racine plus grande que l’unité, après quoi chacune des transformées suivantes n’aura aussi qu’une seule racine plus grande que l’unité ; soit donc
une de ces transformées qui n’ont qu’une seule racine plus grande que l’unité, et soit la valeur entière approchée de on fera, pour avoir la transformée suivante, ce qui, étant substitué, donnera