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d’où

$x=\lambda _{1}+{\frac {1}{\lambda _{2}+{\cfrac {1}{\lambda _{3}+\ddots }}}}.$

Quant au radical ${\sqrt {\mathrm {B} }},$ il faudra toujours lui donner le même signe qu’on lui a supposé dans la valeur de la racine, cherchée $x$.

On peut observer encore que, comme on a trouvé

$\varepsilon _{1}^{2}+\mathrm {E_{1}E_{2}=\varepsilon ^{2}+EE_{1}=B} ,$

on aura

$\mathrm {E_{2}={\frac {B-\varepsilon _{1}^{2}}{E_{1}}}} ,$

et de même

$\mathrm {E_{3}={\frac {B-\varepsilon _{2}^{2}}{E_{2}}},\quad E_{4}={\frac {B-\varepsilon _{3}^{2}}{E_{3}}}} ,\quad \ldots .$

Ainsi l’on pourra, si on le juge plus commode, employer ces formules à la place de celles qu’on a données plus haut, pour avoir les valeurs de $\mathrm {E_{2},E_{3}} ,\ldots .$

53. Maintenant je dis que la fraction continue qui exprime la valeur de $x$ sera toujours nécessairement périodique.

Pour pouvoir démontrer ce théorème, nous commencerons par prouver en général que, quelle que soit l’équation proposée, on doit toujours nécessairement arriver à des équations transformées dont le premier et le dernier terme soient de signes différents. En effet, nous avons vu dans le n^o 19 qu’on doit toujours nécessairement arriver à une équation transformée qui n’ait qu’une seule racine plus grande que l’unité, après quoi chacune des transformées suivantes n’aura aussi qu’une seule racine plus grande que l’unité ; soit donc

$au^{m}+bu^{m-1}+cu^{m-2}+\ldots +k=0$

une de ces transformées qui n’ont qu’une seule racine plus grande que l’unité, et soit $s$ la valeur entière approchée de $u$ on fera, pour avoir la transformée suivante, $u=s+{\frac {1}{\scriptstyle {\mathcal {W}}}},$ ce qui, étant substitué, donnera