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une transformée dans laquelle il est aisé de voir que le premier terme sera

$\left(as^{m}+bs^{m-1}+cs^{m-2}+\ldots +k\right)\scriptstyle {\mathcal {W}}^{m},$

et que le dernier sera, $a.$ Or, puisque la vraie valeur de $u$ dans la transformée précédente tombe entre ces deux-ci $u=s$ et $u=\infty ,$ entre lesquelles il ne se trouve aucune autre valeur de $u$ (hypothèse), il s’ensuit qu’en faisant ces deux substitutions dans l’équation en $u,$ on aura nécessairement des résultats de signes contraires ; car il est facile de concevoir qu’il n’y aura, en ce cas, qu’un seul des facteurs de cette équation qui pourra changer de signe en passant d’une valeur de $u$ à l’autre ({n°

). Mais la supposition de $u=\infty$ donne le résultat $au^{m}$ (tous les autres termes devenant nuls vis-à-vis de celui-ci), lequel est de même signe que le coefficient $a\,;$ donc il faudra que la supposition de $u=s$ donne un résultat de signe contraire à $a\,;$ mais ce résultat est égal à}}

$as^{m}+bs^{m-1}+cs^{m-2}+\ldots +k\,;$

donc, puisque cette quantité est en même temps le coefficient du premier terme de l’équation transformée en $\scriptstyle {\mathcal {W}},$ dont le dernier terme est $a,$ il s’ensuit que cette transformée aura nécessairement ses deux termes extrêmes de signes différents.

Et l’on peut prouver de la même manière que cela aura lieu, à plus forte raison, dans toutes les transformées suivantes.

Cela posé, puisque l’équation proposée

$\mathrm {E} _{1}x^{2}-2\varepsilon x-\mathrm {E} =0$

donne les transformées (n^o 52)

${\begin{aligned}\mathrm {E} _{2}x_{1}^{2}-2\varepsilon _{1}x_{1}-\mathrm {E} _{1}&=0,\\\mathrm {E} _{3}x_{2}^{2}-2\varepsilon _{2}x_{2}-\mathrm {E} _{2}&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}$

il s’ensuit de ce que nous venons de démontrer qu’on parviendra