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nécessairement à des transformées comme

${\begin{aligned}&\mathrm {E} _{\gamma +1}x_{\gamma }^{2}-2\varepsilon _{\gamma }x_{\gamma }-\mathrm {E} _{\gamma }=0,\\&\mathrm {E} _{\gamma +2}x_{\gamma +1}^{2}-2\varepsilon _{\gamma +1}x_{\gamma +1}-\mathrm {E} _{\gamma +1}=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

dont les premiers et derniers termes seront de signes différents de sorte que les nombres

$\mathrm {E_{\gamma },\quad E_{\gamma +1},\quad E_{\gamma +2}} ,\quad \ldots$

seront tous de même signe. Or on a (n^o 52)

$\mathrm {B=\varepsilon _{\gamma }^{2}+E_{\gamma }E_{\gamma +1}=\varepsilon _{\gamma +1}^{2}+E_{\gamma +1}E_{\gamma +2}} =\ldots \,;$

donc, puisque $\mathrm {E_{\gamma },\ E_{\gamma +1},\ E_{\gamma +2}} ,\ \ldots$ sont de même signe, les produits $\mathrm {E_{\gamma }E_{\gamma +1},\ E_{\gamma +1}E_{\gamma +2}} ,\ \ldots$ seront nécessairement positifs ; d’où il s’ensuit :

1^o Oue l’on aura

$\varepsilon _{\gamma }^{2}<\mathrm {B} ,\quad \varepsilon _{\gamma +1}^{2}<\mathrm {B} ,\quad \ldots ,$

c’est-à-dire (en faisant abstraction du signe)

$\varepsilon _{\gamma }<{\sqrt {\mathrm {B} }},\quad \varepsilon _{\gamma +1}<{\sqrt {\mathrm {B} }},$

et ainsi de suite à l’infini ;

2^o Que l’on aura aussi, à cause que les nombres $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots$ sont tous entiers

$\mathrm {E_{\gamma }<\mathrm {B} ,\quad E_{\gamma +1}<\mathrm {B} ,\quad E_{\gamma +2}<B} ,$

et ainsi de suite. Donc, comme $\mathrm {B}$ est donné, il est clair qu’il n’y aura qu’un certain nombre de nombres entiers qui pourront être moindres que $\mathrm {B}$ et que ${\sqrt {\mathrm {B} }}\,;$ de sorte que les nombres

$\mathrm {E_{\gamma },\ \ E_{\gamma +1},\ \ E_{\gamma +2}} ,\ \ \ldots ,\ \ \varepsilon _{\gamma },\ \ \varepsilon _{\gamma +1},\ \ \varepsilon _{\gamma +2},\ \ \ldots$

ne pourront avoir qu’un certain nombres de valeurs différentes, et qu’ainsi dans l’une et l’autre de ces séries, si on les pousse à l’infini, il faudra nécessairement que les mêmes termes reviennent une infinité