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sera immédiatement plus petit que la quantité donnée $\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +2}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +2}}} \,;$ nombre sera donné, et par là les nombres $\varepsilon _{\gamma +1}$ et $\mathrm {E} _{\gamma +1}$ le seront aussi.

Enfin, puisque $\mathrm {E} _{\gamma }$ est (hypothèse) $<{\sqrt {\mathrm {B} }},$ on aura à plus forte raison

$\varepsilon _{\gamma }+{\sqrt {\mathrm {B} }}>\mathrm {E} _{\gamma }\,;$

et de là, à cause de $\mathrm {E_{\gamma }E_{\gamma +1}=B} -\varepsilon _{\gamma }^{2},$ on aura

${\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon _{\gamma }<\mathrm {E} _{\gamma +1},$

ou bien, en substituant pour $\varepsilon _{\gamma }$ sa valeur trouvée ci-dessus,

$\mathrm {{\sqrt {B}}-\lambda _{\gamma +1}E_{\gamma +1}+\varepsilon _{\gamma +1}<E_{\gamma +1}} ,$

ce qui donne

$\lambda _{\gamma +1}>\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +1}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +1}}} -1.$

Donc le nombre $\lambda _{\gamma +1}$ ne pourra être que le nombre entier qui est immédiatement moindre que la quantité donnée $\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +1}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +1}}} ,$ et par conséquent ce nombre sera entièrement donné, et par conséquent les nombres $\varepsilon _{\gamma }$ et $\mathrm {E} _{\gamma }$ le seront aussi.

Or nous avons vu (n^o 53) qu’en continuant les séries $\mathrm {E_{\gamma },E_{\gamma +1}} ,\ldots ,$ $\varepsilon _{\gamma },\varepsilon _{\gamma +1},\ldots ,$ il arrivera nécessairement que deux termes correspondants, comme $\mathrm {E} _{\gamma +\delta },\varepsilon _{\gamma +\delta },$ reparaîtront après un certain nombre d’autres termes, en sorte que l’on aura, par exemple,

$\mathrm {E} _{\gamma +\nu +\delta }=\mathrm {E} _{\gamma +\delta },\quad \varepsilon _{\gamma +\nu +\delta }=\varepsilon _{\gamma +\delta }\,;$

donc, par ce que nous venons de démontrer, on aura aussi en remontant

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {E} _{\gamma +\nu +\delta -1}&=\mathrm {E} _{\gamma +\delta -1},\qquad &\varepsilon _{\gamma +\nu +\delta -1}&=\varepsilon _{\gamma +\delta -1},\\\mathrm {E} _{\gamma +\nu +\delta -2}&=\mathrm {E} _{\gamma +\delta -2},\qquad &\varepsilon _{\gamma +\nu +\delta -2}&=\varepsilon _{\gamma +\delta -2},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {E} _{\gamma +\nu }&=\mathrm {E} _{\gamma },&\varepsilon _{\gamma +\nu }&=\varepsilon _{\gamma }.\end{alignedat}}$

58. De là je conclus en général que, lorsque dans la série des nombres $\mathrm {E,\ E_{1},\ E_{2}} ,\ldots$ on en trouvera deux consécutifs de même