signe, celui des deux qui sera moindre que sera déjà nécessairement périodique.
Ainsi, si dans l’équation proposée
les coefficients et étaient de même signe, alors la série serait périodique dès le premier ou le second terme.
Si l’on a en sorte que alors on aura d’où l’on voit que, des deux nombres le plus petit sera moindre que et le plus grand sera nécessairement plus grand que donc, dans ce cas, si le nombre dont il s’agit d’extraire la racine carrée est plus petit que l’unité, la série sera périodique dès le premier terme et s’il est plus grand que l’unité, la période ne pourra pas commencer plus bas qu’au second terme.
59. On avait remarqué depuis longtemps que toute fraction continue périodique pouvait toujours se ramener à une équation du second degré, mais personne, que je sache, n’avait encore démontré l’inverse de cette proposition, savoir que toute racine d’une équation du second degré se réduit toujours nécessairement en une fraction continue périodique. Il est vrai que M. Euler, dans un excellent Mémoire imprimé au tome XI des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg, a observé que la racine carrée d’un nombre entier se réduisait toujours en une fraction continue périodique ; mais ce théorème, qui n’est qu’un cas particulier du nôtre, n’a pas été démontré par M. Euler, et ne peut l’être, ce me semble, que par le moyen des principes que nous avons établis plus haut.
60. Nous avons donné plus haut des formules générales pour trouver aisément tous les termes des fractions convergentes vers la racine d’une équation donnée, lorsqu’on a reconnu que la fraction continue qui exprime cette racine est périodique.
