Or, dans le cas où l’équation est du second degré, et où l’on se sert de la méthode du no 52, on pourra, si l’on veut, simplifier beaucoup les calculs des nos 48 et suivants pour trouver les termes
et
de chacune des fractions convergentes vers
.
En effet, ayant
![{\displaystyle x_{\mu }=\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{\mu }}{E_{\mu +1}}} \quad {\text{et}}\quad x_{\mu +\varpi }=\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{\mu +\varpi }}{E_{\mu +\varpi +1}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fa88e6969e51c8469b0cca79508a5204ed85316)
sont connus (
étant
), il n’y aura qu’à substituer ces valeurs dans les deux équations du no 48, et faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {l_{\mu }\ \varepsilon _{\mu }}{\mathrm {E} _{\mu +1}}}+l_{\mu -1}\ =f_{\mu },\\&\mathrm {{\frac {L_{\mu }\varepsilon _{\mu }}{E_{\mu +1}}}+L_{\mu -1}} =\mathrm {F} _{\mu },\\&\mathrm {{\frac {H_{\nu }\varepsilon _{\mu }}{E_{\mu +1}}}+H_{\nu -1}} =\mathrm {K} _{\nu },\\&\mathrm {H_{\varpi }\varepsilon _{\mu +\varpi }+H_{\varpi -1}E_{\mu +\varpi +1}} =\mathrm {G} _{\varpi },\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75717cd9569f2cd41ad180bca205ff7c2e671086)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(f_{\mu }\ +{\frac {l_{\mu }\ {\sqrt {\mathrm {B} }}}{\mathrm {E} _{\mu +1}}}\right)\mathrm {\left(G_{\varpi }+H_{\varpi }{\sqrt {B}}\right)} \mathrm {\left(K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =l_{\rho }\ \varepsilon _{\mu +\varpi }+l_{\rho -1}\ \mathrm {E} _{\mu +\varpi +1}+l_{\rho }\ {\sqrt {\mathrm {B} }},\\&\mathrm {\left(F_{\mu }+{\frac {L_{\mu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)\left(G_{\varpi }+H_{\varpi }{\sqrt {B}}\right)\left(K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =\mathrm {L_{\rho }\varepsilon _{\mu +\varpi }+L_{\rho -1}E_{\mu +\varpi +1}+L_{\rho }{\sqrt {B}}} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17c54364608b6a27063c656622447af1eec1de65)
d’où, à cause de l’ambiguïté du signe du radical
on tire sur-le-champ
![{\displaystyle {\begin{aligned}l_{\rho }=&{\frac {\begin{aligned}&\left(f_{\mu }+{\frac {l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {B} }}}{\mathrm {E} _{\mu +1}}}\right)\mathrm {\left(G_{\varpi }+H_{\varpi }{\sqrt {B}}\right)} \mathrm {\left(K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}\\-&\left(f_{\mu }-{\frac {l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {B} }}}{\mathrm {E} _{\mu +1}}}\right)\mathrm {\left(G_{\varpi }-H_{\varpi }{\sqrt {B}}\right)} \mathrm {\left(K_{\nu }-{\frac {H_{\nu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}\end{aligned}}{2{\sqrt {\mathrm {B} }}}}\\\\\mathrm {L} _{\rho }=&{\frac {\begin{aligned}&\mathrm {\left(F_{\mu }+{\frac {L_{\mu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)\left(G_{\varpi }+H_{\varpi }{\sqrt {B}}\right)\left(K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}\\-&\mathrm {\left(F_{\mu }-{\frac {L_{\mu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)\left(G_{\varpi }-H_{\varpi }{\sqrt {B}}\right)\left(K_{\nu }-{\frac {H_{\nu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}\end{aligned}}{2{\sqrt {\mathrm {B} }}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/407d7fb0e21ee25d7f12496410aab76054370c9f)
étant, comme plus haut, égal à ![{\displaystyle \mu +n\nu +\varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c2eaf33cc23fc6ee1ab365ac0032bdc953d9b49)