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61. On peut aussi remarquer que la valeur de $\mathrm {L} _{\rho }$ peut se déterminer par le moyen de celles de $l_{\rho }$ et $l_{\rho -1},$ sans avoir besoin d’un nouveau calcul.

En effet, ayant

$x=\mathrm {{\frac {\varepsilon +{\sqrt {B}}}{E}}={\frac {E}{{\sqrt {B}}-\varepsilon }}} ,$

et de même

$x_{\rho }=\mathrm {\frac {E_{\rho }}{{\sqrt {B}}-\varepsilon _{\rho }}} ,$

on aura, par l’équation (G) du n^o 51,

$\mathrm {\frac {E}{{\sqrt {B}}-\varepsilon }} ={\frac {l_{\rho }\mathrm {E} _{\rho }+l_{\rho -1}\left({\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon _{\rho }\right)}{\mathrm {L_{\rho }E_{\rho }+L_{\rho -1}\left({\sqrt {B}}-\varepsilon _{\rho }\right)} }},$

savoir

$\mathrm {E\left[L_{\rho }E_{\rho }+L_{\rho -1}\left({\sqrt {B}}-\varepsilon _{\rho }\right)\right]} =l_{\rho }\mathrm {E} _{\rho }\left({\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon \right)+l_{\rho -1}\left[\mathrm {B} +\varepsilon \varepsilon _{\rho }-(\varepsilon _{\rho }+\varepsilon ){\sqrt {\mathrm {B} }}\right],$

de sorte qu’en comparant la partie rationnelle avec la rationnelle, et l’irrationnelle avec l’irrationnelle, on aura

$\mathrm {L} _{\rho -1}={\frac {l_{\rho }\mathrm {E} _{\rho }-l_{\rho -1}(\varepsilon _{\rho }+\varepsilon )}{\mathrm {E} }},$

$\mathrm {L_{\rho }E_{\rho }-L_{\rho -1}} \varepsilon _{\rho }={\frac {-l_{\rho }\mathrm {E} _{\rho }\varepsilon +l_{\rho -1}(\mathrm {B} +\varepsilon \varepsilon _{\rho })}{\mathrm {E} }},$

d’où, à cause de $\mathrm {B-\varepsilon _{\rho }^{2}=E_{\rho }E_{\rho +1}} ,$ on aura

$\mathrm {L} _{\rho }={\frac {l_{\rho }(\varepsilon _{\rho }-\varepsilon )+l_{\rho -1}\mathrm {E} _{\rho +1}}{\mathrm {E} }}.$

Or, $\rho$ étant égal à $\mu +n\nu +\varpi ,$ on aura

$\varepsilon _{\rho }=\varepsilon _{\mu +\varpi },\quad \mathrm {E_{\rho +1}=E_{\mu +\varpi +1}} ,$

de sorte que $\varepsilon _{\rho }$ et $\mathrm {E} _{\rho +1}$ seront connus, quel que soit le quantième $\rho$.

62. Supposons, pour donner un exemple de l’application des formules précédentes, qu’on demande la racine carrée de ${\frac {11}{3}}$ par une fraction continue.

Faisant $x={\sqrt {\frac {11}{3}}},$ on aura l’équation

$3x^{2}-11=0\,;$