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donc (n^o 52)

ainsi l’on fera (n^o 53) le calcul suivant, en prenant $B=33,$

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {E} \,\ =&11,&&&\varepsilon \,\ =&0,\\\mathrm {E} _{1}=&{\frac {33-0}{11}}=3,\qquad &\lambda _{1}<&{\frac {{\sqrt {33}}+0}{3}}=1,\qquad &\varepsilon _{1}=&\ \ 1.3-0=3,\\\mathrm {E} _{2}=&{\frac {33-9}{3}}=8,\qquad &\lambda _{2}<&{\frac {{\sqrt {33}}+3}{8}}=1,\qquad &\varepsilon _{2}=&\ \ 1.8-3=5,\\\mathrm {E} _{3}=&{\frac {33-25}{8}}=1,\qquad &\lambda _{3}<&{\frac {{\sqrt {33}}+5}{1}}=10,\qquad &\varepsilon _{3}=&10.1-5=5,\\\mathrm {E} _{4}=&{\frac {33-25}{1}}=8,\qquad &\lambda _{4}<&{\frac {{\sqrt {33}}+5}{8}}=1,\qquad &\varepsilon _{4}=&\ \ 1.8-5=3,\\\mathrm {E} _{5}=&{\frac {33-0}{8}}=3,\qquad &\lambda _{5}<&{\frac {{\sqrt {33}}+3}{3}}=2,\qquad &\varepsilon _{5}=&\ \ 2.3-3=3.\end{alignedat}}$

Je m’arrête ici parce que je vois que $\mathrm {E_{5}=E_{1}}$ et $\varepsilon _{5}=\varepsilon _{1}\,;$ de sorte que j’aurai dans ce cas $\mu =1$ et $\nu =4,$ et par conséquent

$x=1+{\frac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+\ddots }}}}}}}}}}}}.$

63. Telle est donc la fraction continue qui exprime la valeur de ${\sqrt {\frac {11}{3}}}\,;$ mais, si l’on veut trouver les fractions convergentes vers cette valeur, on fera, dans les formules du n^o 60, $\mu =1,\ \nu =4,$ et comme $\varpi$ doit être $<4,$ on fera successivement $\varpi =0,\ 1,\ 2,\ 3.$

On aura donc [formule (A), n^o 47]

$l_{\mu }=l_{1}=\lambda _{1}=1,\quad l_{\mu -1}=l=1,\quad \varepsilon _{\mu }=\varepsilon _{1}=3,\quad \mathrm {E_{\mu +1}=E_{2}} =8\,;$

donc (n^o 60)

$f_{\mu }={\frac {1.3}{8}}+1={\frac {11}{8}}\,;$