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De cette manière, on aurait donc

$x=p\pm {\frac {1}{y}},\quad y=q\pm {\frac {1}{z}},\quad z=r\pm {\frac {1}{u}},\quad \ldots ,$

ce qui donnerait la fraction continue

$x=p\pm {\frac {1}{q\pm {\cfrac {1}{r\pm {\cfrac {1}{s\pm \ddots }}}}}},$

où il est bon de remarquer que chacun des dénominateurs $q,r,\ldots ,$ qui sera suivi d’un signe $-,$ devra nécessairement être $=2$ ou $>2\,;$ car puisque $y>1,$ si l’on fait $y=q-{\frac {1}{z}},$ on aura $q-{\frac {1}{z}}>1,$ donc $q>1+{\frac {1}{z}}\,;$ donc $q$ devant être un nombre entier sera nécessairement $=2$ ou $>2,$ et ainsi des autres.

67. J’observe maintenant que ces sortes de fractions qui procèdent ainsi par addition et par soustraction peuvent toujours facilement se changer en d’autres qui ne soient formées que par la simple addition.

En effet, supposons en général

$a-{\frac {1}{t}}=\mathrm {A+{\frac {1}{T}}} ,$

$a$ et $\mathrm {A}$ devant être des nombres entiers, et $t,\ \mathrm {T}$ des nombres plus grands que l’unité ; on aura donc

$a-\mathrm {A} ={\frac {1}{t}}+{\frac {1}{\mathrm {T} }}\,;$

donc, puisque ${\frac {1}{t}}<1$ et ${\frac {1}{\mathrm {T} }}<1,$

${\frac {1}{t}}+{\frac {1}{\mathrm {T} }}\quad {\text{sera}}\quad <2\,;$

donc on ne pourra supposer que $a-\mathrm {A} =1,$ ce qui donne $\mathrm {A} =a-1\,;$ on aura donc

$a-{\frac {1}{t}}=a-1+{\frac {1}{\mathrm {T} }}\,;$