et développant suivant les puissances ascendantes de
on aura une série de cette forme
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,p)+\mathrm {P} i^{\mu }+\mathrm {Q} i^{\nu }+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40580ca5317949c8b61a544d0e0fe1bac24d9c85)
étant différent de l’unité,
et
étant des fonctions données de
Donc l’équation
![{\displaystyle y'=\operatorname {F} (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e489f3c1ee4333c095d61940ed62e8f98f78d62)
deviendra, par ces substitutions,
![{\displaystyle iq'+i^{m}r'+i^{n}s'+\ldots =\mathrm {P} i^{\mu }+\mathrm {Q} i^{\nu }+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec08fe51af269f676325da392b38b7a400558a1e)
laquelle devra se vérifier indépendamment de la valeur de ![{\displaystyle i.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ffcf9ad7ad44f04fa43c5b604b4801e089981cb)
Donc, si
on pourra faire
et
ensuite
Ainsi, on aura d’abord
égal à une constante, ou plus simplement
ensuite, comme
ne dépend que de
et de
on trouvera la valeur de
en prenant la fonction primitive de
et ainsi de suite.
59. Mais si
alors il sera impossible de satisfaire à l’équation de manière que
demeure une constante arbitraire, et l’on devra en conclure que la valeur particulière
ne pouvant pas être complétée ainsi, ne saurait être contenue dans l’expression générale
qui représente la valeur complète de
Maintenant il est visible que, quel que puisse être le premier terme
du développement de
par la substitution, de
à la place de
il ne peut venir que des termes
de sorte qu’il sera le même que si l’on substituait simplement
à la place de
Donc le développementde
par la substitution de
à la place de
sera
donc, puisque la série résultante de ce développement contient un terme affecté de
où
est
et
il s’ensuit de la théorie donnée au no 29 que la fonction prime
devra devenir infinie lorsque
De là on tire cette conclusion que la valeur particulière
ne pourra