de
et
trouvées ci-dessus, et alors la quantité
serait la seule constante arbitraire.
Ces dernières équations étant compliquées de radicaux, il sera à propos de chercher encore une autre équation primitive d’après les mêmes équations du premier ordre
![{\displaystyle p'=a\sin q,\quad q'=b\sin p\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e25a46d4fc67c6aff37e0acec8ad33a159356de6)
or, en divisant l’une par l’autre, on a
![{\displaystyle {\frac {p'}{q'}}={\frac {a\sin q}{b\sin p}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35a263042c02c3ad9c1c6afa5162849b21a8a6df)
et, multipliant en croix,
![{\displaystyle bp'\sin p=aq'\sin q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c83d25726f6b718237c5ddef3d0795eb2c10d8f1)
d’où l’on tire tout de suite l’équation primitive
![{\displaystyle b\cos p=a\cos q+c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f049455b1c5d75a78c77c17414c710c5661b465)
étant une nouvelle constante arbitraire qu’il faudra déterminer comme ci-dessus. Or, en faisants
et
on a
![{\displaystyle p=q={\frac {m}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/209fbe92c5bfbf62b1fce7f6524ed16ade80da30)
donc l’équation précédente donnera
![{\displaystyle c=(b-a)\cos {\cfrac {m}{2}}=-{\cfrac {\mathrm {\sqrt {A+B}} \cos {\cfrac {m}{2}}}{\sin {\cfrac {m}{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74fba7872c5cb0d94b18cb96af016a8f4bcd2019)
Substituant les valeurs de
ainsi que celles de
et
dans la même équation, et faisant les réductions des sinus et cosinus, elle prendra cette forme très-simple
![{\displaystyle \cos {\frac {z}{2}}\cos {\frac {u}{2}}+\sin {\frac {z}{2}}\sin {\frac {u}{2}}{\frac {\sqrt {\mathrm {A+B} \cos m}}{\mathrm {\sqrt {A+B}} }}=\cos {\frac {m}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4bac9ea1b6e478a23ecf2de029742bc58bc5582)