c’est l’équation primitive de la proposée du premier ordre en
et
et l’angle
en est la constante arbitraire.
69. On peut regarder les angles
et
comme les trois côtés d’un triangle sphérique ; il est visible qu’alors, dans l’équation précédente, la quantité
sera le cosinus de l’angle compris entre les côtés
et
et par conséquent opposé au côté
par les formules connues de la Trigonométrie sphérique ; c’est la valeur de
lorsque
et
Ainsi cet angle sera constant en même temps que le côté
tandis que les deux autres varient.
Soit
cet angle constant ; on aura donc
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {\mathrm {A+B} \cos m}}{\mathrm {\sqrt {A+B}} }}=\cos \mathrm {M} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa613f6170ede6ca415271a36fd9645d09d2f38)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {\cfrac {A}{B}} ={\cfrac {\cos ^{2}\mathrm {M} -\cos m}{\sin ^{2}\mathrm {M} }}=2\left({\cfrac {\sin {\cfrac {m}{2}}}{\sin \mathrm {M} }}\right)^{2}-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d2018454f7b1f54217d36908268b2463ed57aa)
Si l’on fait cette substitution dans l’équation proposée en
et
et qu’on suppose, pour abréger,
elle se réduira à cette forme
![{\displaystyle z'={\cfrac {\sqrt {1-\mu ^{2}\sin ^{2}{\cfrac {z}{2}}}}{\sqrt {1-\mu ^{2}\sin ^{2}{\cfrac {u}{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b87dcb617232dd6b5a7d8bfe44cf8eb544ff4fcc)
dont l’équation primitive sera la relation entre les côtés
et
d’un triangle sphérique dans lequel
sera le rapport des sinus des angles aux sinus des côtés opposés, rapport qu’on sait être le même pour tous les angles et les côtés opposés, de sorte que, ce rapport seul étant donné, il restera l’angle ou le côté pour arbitraire.
La considération du triangle sphérique peut servir à faire voir plus