donc
![{\displaystyle \sin \mathrm {U} =\mu \sin {\frac {u}{2}},\quad \sin \mathrm {Z} =\mu \sin {\frac {z}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/834f84048db30e9137be69b86603dddd9dc4bbe8)
et de là
![{\displaystyle \cos \mathrm {U} ={\sqrt {1-\mu ^{2}\sin ^{2}{\frac {u}{2}}}},\quad \cos \mathrm {Z} ={\sqrt {1-\mu ^{2}\sin ^{2}{\frac {z}{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e0290f380e5eaedc1587f54bf4b50e34144f0c6)
substituant ces valeurs, on aura la même équation du premier ordre en
et ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
Si l’angle
que nous avons supposé obtus, était aigu, ainsi que l’angle
alors, au lieu de l’équation
on aurait celle-ci,
![{\displaystyle z'+\mathrm {\frac {\cos Z}{\cos U}} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdbb60429d594c909d0dd893b5aeb656499041dc)
qui ne diffère que par le signe de
et dont l’équation primitive sera la même.
70. Voici encore, une considération essentielle sur ces sortes d’équations : l’équation du no 68 étant mise sous cette forme
![{\displaystyle {\frac {z'}{\sqrt {\mathrm {A+B} \cos z}}}={\frac {1}{\sqrt {\mathrm {A+B} \cos u}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/069bd00e27db1daf1be8f9307dd6c55528cbe2eb)
supposons que
soit la fonction primitive de
sera pareillement la fonction primitive de
étant regardé comme une fonction de
dont
est la fonction prime. Ainsi, en repassant aux fonctions primitives, on aura sur-le-champ cette équation primitive
![{\displaystyle f(z)=f(u)+k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dd073a2ca971b4dd948ad97808109322adf2761)
étant la constante arbitraire.
Cette équation devra donc coïncider avec l’équation primitive que nous avons trouvée au no 68, et où la constante arbitraire est
par conséquent, sa constante arbitraire ne pourra être qu’une fonction de