CHAPITRE XII.
Du développement des fonctions de deux variables. de leurs fonctions dérivées. Notation de ces fonctions et conditions auxquelles elles doivent satisfaire. Loi générale qui règne entre les termes du développement d’une fonction de plusieurs variables et ceux qui résultent du développement de ces termes eux-mêmes.
73. Nous n’avons encore traité que des fonctions d’une seule variable il n’est pas difficile d’étendre la théorie de ces fonctions aux fonctions de deux ou de plusieurs variables.
Soit
une fonction quelconque de deux variables
et
qu’on regarde comme indépendantes l’une de l’autre. Si, dans cette fonction, on met à la fois
à la place de
et
à la place de
et
étant deux quantités indéterminées, qu’ensuite on développe la nouvelle fonction
suivant les puissances ascendantes de
et
il est clair que le premier terme, sans
ni
sera
et que les autres seront de nouvelles fonctions de
et de
multipliées successivement par
ces fonctions dérivent de la fonction primitive
et c’est la loi de cette dérivation qu’il s’agit de déterminer.
Pour y parvenir de la manière la plus simple, on commencera par supposer qu’il n’y ait que la variable
qui devienne
la variable
demeurant la même. Dans ce cas, désignant, comme on l’a fait jusqu’ici, par
les fonctions primes, secondes, tierces, etc. relativement à
seul, on aura
![{\displaystyle f(x+i,y)=f(x,y)+if'(x,y)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x,y)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x,y)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5efba4f02af42a7cfcf3231b14d770dbd4c2b780)