Substituons maintenant partout
à la place de
on aura
![{\displaystyle f(x+i,y+o)=f(x,y+o)+if'(x,y+o)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x,y+o)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x,y+o)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f5c3142400271f653b66c15d45f416c55f4808)
Or, si l’on désigne par
les fonctions primes, secondes, tierces, etc. relativement à
il est clair que la fonction
considérée comme fonction de
et indépendamment de
deviendra
![{\displaystyle f(x,y)+of_{_{'}}(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f_{_{''}}(x,y)+{\frac {o^{3}}{2.3}}f_{_{'''}}(x,y)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a635557a1ea2ee740aae124e08e9c90327fbfff8)
De même, en supposant toujours que les traits appliqués au bas de la lettre
indiquent les fonctions primes, secondes, etc. relativement à y des fonctions déjà désignées par
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}f'\ (x,y+o)=&f'\ (x,y)+of'_{_{'}}\,(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f'_{_{''}}(x,y)+\ldots ,\\f''(x,y+o)=&f''(x,y)+of''_{_{'}}(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f''_{_{''}}(x,y)+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eb23d381883559d97120af5d5401e0bbc2419c4)
et ainsi de suite.
Faisant donc ces substitutions et ordonnant les termes par rapport aux puissances et aux produits de
et
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x+i,y+o)=&f(x,y)+if'(x,y)+of_{_{'}}(x,y)\\&+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x,y)+iof'_{_{'}}(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f_{_{''}}(x,y)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x,y)\\&+{\frac {i^{2}o}{2}}f''_{_{'}}(x,y)+{\frac {io^{2}}{2}}f'_{_{''}}(x,y)+{\frac {o^{3}}{2.3}}f_{_{'''}}(x,y)+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f43a5827c3f56181ec190a8f74686ff934b0c06)
où la forme générale des termes est
![{\displaystyle {\frac {i^{m}o^{n}}{(1.2.3\ldots m)(1.2.3\ldots n)}}f_{n}^{m}(x,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb375061e0dbe23ce27ed3d628bb7e89facb218)
74. Dans le procédé que nous venons de suivre pour avoir le développement de
nous avons commencé par substituer, dans
pour
et nous avons développé suivant
nous