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avons ensuite substitué, dans tous les termes de ce développement, $y+o$ pour $y,$ et nous avons développé suivant $o.$ Or il est visible qu’on aurait identiquement le même résultat si l’on commençait par la substitution de $y+o$ pour y et par le développement suivant $o,$ et qu’on fit ensuite la substitution de $x+i$ pour $x$ et le développemen $t$ suivant $i.$ De cette manière, on aurait d’abord les fonctions primes, secondes, etc. relativement à $y,$ savoir $f'_{_{'}}(x,y),f''_{_{'}}(x,y),\ldots \,;$ ensuite on aurait les fonctions primes, secondes, etc. de celles-ci relativement à $x,$ qui, suivant la notation que nous venons d’établir, seraient représentées par $f'_{_{'}}(x,y),f''_{_{'}}(x,y),\ldots ,$ $f'_{_{''}}(x,y),f''_{_{''}}(x,y),\ldots ,$ et l’on obtiendrait ainsi la même formule que ci-dessus, comme cela doit être. Or, dans le premier procédé, la fonction $f'_{_{'}}(x,y)$ s’obtient en prenant d’abord la fonction prime de $f(x,y)$ relativement à $x,$ ce qui donne $f'(x,y),$ et ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à $y\,;$ et, dans le second procédé, la même fonction s’obtient en prenant d’abord la fonction prime de $f(x,y)$ relativement à $y,$ ce qui donne $f_{_{'}}(x,y),$ et ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à $x.$

D’où il suit qu’il est indifférent dans quel ordre se fasse la double opération nécessaire pour passer de la fonction primitive $f(x,y)$ à la fonction dérivée $f'_{_{'}}(x,y)$ et, eomme on doit dire la même chose des autres fonctions marquées par des traits placés au haut ou au bas de la caractéristique $f,$ on en peut conclure en général que les opérations indiquées par ces traits sont absolument indépendantes entre elles et qu’elles conduisent aux mêmes résultats, quelque ordre qu’on suive en prenant les fonctions primes relativement à $x$ et à $y,$ indiquées par chacun des traits supérieurs ou inférieurs. Ainsi, par exemple, on aura également la valeur de $f''_{_{'}}(x,y)$ en prenant la fonction seconde de $f(x,y)$ relativement à $x$ et ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à $y,$ ou en prenant d’abord la fonction prime de $f(x,y)$ relativement à $y$ et ensuite la fonction seconde de celle-ci relativement à $x,$ ou bien en prenant la fonction prime de $f(x,y)$ relativement à $x,$ ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à $y,$ et enfin la fonction prime de cette dernière relativement à $x\,;$ et ainsi des autres.