et, prenant maintenant la fonction prime de celle-ci relativement à
on aura, après les réductions,
![{\displaystyle f''_{_{'}}(x,y)={\frac {3x^{2}y^{2}+3xy^{3}}{\left(2xy+y^{2}\right)^{\frac {5}{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6a21d4570cc17de377d73dd0bd712f20d8d7e87)
De même, en prenant la fonction prime de
relativement à
on trouvera
![{\displaystyle f''_{_{'}}(x,y)={\frac {3x^{2}y^{2}+3xy^{3}}{\left(2xy+y^{2}\right)^{\frac {5}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6b97b8b77005922ea6abdb4425e40cdfa04b4e2)
et ainsi de suite.
Il résulte de là que, afin que des fonctions données de
et
puissent être prises pour des fonctions dérivées d’une même fonction primitive, il faut qu’elles satisfassent à certaines conditions.
Ainsi, si
et
représentent des fonctions données de
pour qu’on puisse supposer
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y)=f'(x,y)\quad {\text{et}}\quad \varphi (x,y)=f_{_{'}}(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c1245c290389d8ea7e52e6d6f928e8a5dc5e529)
il faudra que l’on ait
![{\displaystyle f'_{_{'}}(x,y)=\operatorname {F} _{_{'}}(x,y)=\varphi '(x,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b57c5676b7a68d399c3d68d6375863bd8484b4a)
Et, en général, pour qu’on puisse supposer
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y)=f_{n}^{m}(x,y)\quad {\text{et}}\quad \varphi (x,y)=f_{q}^{p}(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e7797b18391978f79ec3cb8c9040d33a39595c1)
il faudra que l’on ait
![{\displaystyle f_{n+q}^{m+p}(x,y)=\operatorname {F} _{q}^{p}(x,y)=\varphi _{n}^{m}(x,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b72a30e5d46fc58656597425e5f8a51dd9887a7)
Par exemple, si
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y)={\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},\quad \varphi (x,y)=-{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f7ed44a162d92b2f1105ea913d0a44ecc6f4b65)
on pourra supposer
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y)=f'(x,y)\quad {\text{et}}\quad \varphi (x,y)=f_{_{'}}(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c1245c290389d8ea7e52e6d6f928e8a5dc5e529)
car on trouve
![{\displaystyle \operatorname {F} _{_{'}}(x,y)={\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}=\varphi '(x,y)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70ea8ec4263c25c91e0248f71e1e1c8e0cb3f29a)