mais on ne pourrait pas supposer
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y)=f'_{_{'}}(x,y)\quad {\text{et}}\quad \varphi (x,y)=f''(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e885522ee73dfaa997cb4641dd7b831eda03192)
car alors il faudrait que
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x,y)=\varphi _{_{'}}(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/735f218d207dacffa95c9ca5d118905b2b74e2e9)
ce qui n’est pas.
76. En général, quel que soit le nombre des variables qui entrent dans une fonction, si l’on donne un accroissement à chacune de ces variables, et qu’on développe la fonction suivant les dimensions formées par ces différents accroissements, qu’on développe ensuite de la même manière les fonctions produites par le premier développement, et ainsi de suite, il règne entre ces différents développements une loi que nous allons exposer d’une manière générale, parce qu’elle peut être utile dans quelques occasions.
Soit
une fonction de plusieurs variables indépendantes
supposons que, par la substitution de
à la place de
et par le développement suivant les puissances et les produits de
cette fonction devienne
![{\displaystyle f(x,y,z,\ldots )+f(1)+f(2)+f(3)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38ecca0e798b740575e04a4190f8ee9211ceadd8)
Je dénote par
la somme de tous les termes où les quantités
seront à la première dimension, par
la somme de tous les termes où ces mêmes quantités formeront deux dimensions, et ainsi de suite.
Supposons, de plus, qu’en faisant la même substitution et le même développement dans les fonctions
elles deviennent
![{\displaystyle {\begin{aligned}&f(1)+f(1,1)+f(1,2)+f(1,3)+\ldots ,\\&f(2)+f(2,1)+f(2,2)+f(2,3)+\ldots ,\\&f(3)+f(3,1)+f(3,2)+f(3,3)+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4703e6210abf8637852b323efda8718b2095dd7)