où je dénote par
les rangs successifs des termes du développement de
de manière que, puisque les quantités,
sont à la première dimension dans
elles formeront deux dimensions dans
trois dimensions dans
et ainsi des autres. Par cette notation, on voit qu’en général la quantité désignée par
renfermera tous les termes du développement de
où les quantités
formeront
dimensions.
Cela posé, si l’on substitue d’abord
dans la fonction
elle deviendra
![{\displaystyle f(x,y,z,\ldots )+f(1)+f(2)+f(3)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9e4b155f8f223ef03ff662ef9902f15bf92f885)
et, si l’on substitue ensuite, dans cette quantité,
à la place de
il est clair qu’elle deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y,z,\ldots )&+\quad f(1)\ \ \,+\quad \ \ f(2)\ \ \ +\quad \ \ f(3)\ \ \ +\ldots ,\\&+mf(1)\,\ \ \ +m^{2}f(2)\,\ \ \ +m^{3}f(3)\,\ \ \ +\ldots ,\\&+mf(1,1)+m^{2}f(1,2)+m^{3}f(1,3)+\ldots ,\\&+mf(2,1)+m^{2}f(2,2)+m^{3}f(2,3)+\ldots ,\\&+mf(3,1)+m^{2}f(3,2)+m^{3}f(3,3)+\ldots ,\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e3dea4d8a76f55d2740f960c6537b9ba6ddecc3)
D’un autre côté, il est visible que ces deux substitutions successives équivalent à une substitution unique qu’on ferait dans la fonction
en mettant
![{\displaystyle x+(1+m)\alpha ,\quad y+(1+m)\beta ,\quad z+(1+m)\gamma ,\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4b86c385804b0777c477501c36dc61771d9e1c)
à la place de
et qui donnerait, par le développement,
![{\displaystyle f(x,y,z,\ldots )+(1+m)f(1)+(1+m)^{2}f(2)+(1+m)^{3}f(3)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48fb42ec8ae20c59ead7e564b974917b34bb72ee)
Ainsi, il faudra que ces deux développements soient identiques et que, par conséquent, les termes qui renferment les mêmes dimensions
soient égaux de part et d’autre, quelle que soit d’ailleurs la