éliminant
on tire d’abord
![{\displaystyle z_{_{'}}-z'f(z)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf0186c88240000a417bcba6f7b829415db62e0d)
Mais l’équation primitive donne
![{\displaystyle f(z)={\frac {z-x}{y}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d6bf560430b9ff5469020ef37a21c5db3003f1e)
donc, substituant cette valeur dans la dernière équation, on aura cette équation du premier ordre, délivrée de
:
![{\displaystyle z'(z-x)-yz_{_{'}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebd680c11bda0a0a7d0ccacb4bccdc405e58bb91)
Comme le premier terme de l’expression de
en série de
est évidemment
nous supposerons, en général,
![{\displaystyle z=x+\mathrm {A} y+\mathrm {B} y^{2}+\mathrm {C} y^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6dbcc3740c3f6700748a347c4d17625db671ad7)
étant des fonctions de
nous aurons
![{\displaystyle z'=1+\mathrm {A} 'y+\mathrm {B} 'y^{2}+\mathrm {C} 'y^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8bd73fbe6af8b258bbaaa708396522e592e5ed5)
étant les fonctions primes de
regardées comme fonctions de
ensuite
![{\displaystyle z_{_{'}}=\mathrm {A} +2\mathrm {B} y+3\mathrm {C} y^{2}+4\mathrm {D} y^{3}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fd6e409c1a3b7707876454d9226c2db4c5cb1b1)
donc on aura, en substituant ces valeurs,
![{\displaystyle \left(1+\mathrm {A} 'y+\mathrm {B} 'y^{2}+\mathrm {C} 'y^{3}+\ldots \right)\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} y+\mathrm {C} y^{2}+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b2224b703184bc3a7ce2cae713bd7eaa279c253)
![{\displaystyle -\mathrm {A} -2\mathrm {B} y-3\mathrm {C} y^{2}-\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7af6d62d78480c07c5e667c2fa2e46c026bd5c64)
savoir
![{\displaystyle \mathrm {\left(AA'-B\right)} y+\mathrm {\left(BA'+AB'-2C\right)} y^{2}+\mathrm {\left(CA'+BB'+AC'-3D\right)} y^{3}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b660e322efdc4a203b80c9fb2b6a20b83c1d3f0)
d’où l’on tire tout de suite
![{\displaystyle \mathrm {B=AA',\quad C={\frac {1}{2}}(AB'+BA'),\quad D={\frac {1}{3}}(AC'+BB'+CA')} ,\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f4d91b8c2a67f6b749144260a2b39bf17e2e83)