Ici la quantité
demeure indéterminée ; mais nous avons déjà vu que les deux premiers termes de
dans l’équation proposée sont
par conséquent, on aura
et de là
![{\displaystyle \mathrm {A} '=f'(x),\quad \mathrm {B} =f(x)f'(x),\quad \mathrm {B} '=f(x)f''(x)+\left[f'(x)\right]^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb532a961d4dfb99dcdb8edbba3a7dabaa2bec50)
donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {C} ={\frac {1}{2}}\left[2f(x)f'^{2}(x)+f^{2}(x)f''(x)\right],\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaadfc552eec7546b16590682843b43726209c74)
Mais, en examinant les expressions de
on voit d’abord qu’elles peuvent se mettre sous cette forme,
![{\displaystyle \mathrm {B=\left({\frac {A^{2}}{2}}\right)',\ \ C={\frac {1}{2}}(AB)',\ \ D={\frac {1}{2}}\left(AC+{\frac {1}{2}}B^{2}\right)',\ \ E={\frac {1}{4}}(AD+BC)'} ,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916b542fcfab7ef0e7541a3b014c15cf2a93291c)
en dénotant, en général, par le caractère
la fonction prime selon
de la quantité renfermée entre les deux crochets, et, si l’on fait les substitutions successives, on trouve que ces expressions sont réductibles à celles-ci, plus simples,
![{\displaystyle \mathrm {B={\frac {1}{2}}\left(A^{2}\right)',\quad C={\frac {1}{2.3}}(A^{3})'',\quad D={\frac {1}{2.3.4}}\left(A^{4}\right)'''} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e307e36e83a53bc9eeb74d776a5fb2ef6657885f)
en marquant par un trait, deux traits, etc. les fonctions primes, secondes, etc. des quantités renfermées entre les crochets, relativement à la variable
de sorte que, en substituant la valeur de
on aura enfin
![{\displaystyle z=x+yf(x)+{\frac {y^{2}}{2}}\left[f^{2}(x)\right]'+{\frac {y^{3}}{2.3}}\left[f^{3}(x)\right]''+{\frac {y^{4}}{2.3.4}}\left[f^{4}(x)\right]'''+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67ddea77b46572e4b770b54ee1af194ddb0f6780)
86. Supposons maintenant qu’on demande la valeur d’une fonction quelconque
de
développée de même suivant les puissances de
on fera
et, prenant les équations primes pour faire disparaître la fonction, on aura
![{\displaystyle u'=\varphi '(z)z',\quad u_{_{'}}=\varphi '(z)z_{_{'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31e9d7d4789247a06678b3ebd9139d4c93b604b2)