substituant les valeurs de
et de
données ci-dessus, on aura
![{\displaystyle \left[u'f^{2}(z)\right]_{_{'}}=u''f^{3}(z)+3u'z'f'(z)f^{2}(z)=\left[u'f^{3}(z)\right]'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a224fcaf1354ca33a97ff402cc03eae910f099)
donc, prenant les fonctions primes relatives à
on aura
![{\displaystyle \left[u'f^{2}(z)\right]'_{_{'}}=\left[u'f^{3}(z)\right]''=u_{_{'''}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8787e199a51f50d9d1591f9b3d27a5361ce7b27)
et ainsi de suite
Donc, puisque
on aura
![{\displaystyle u'=z'\varphi '(z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e999f4868ccd67757a0a2aa444b1b4e53758b4f9)
par conséquent
![{\displaystyle u_{_{'}}=z'\varphi '(z)f(z),\quad u_{_{''}}=\left[z'\varphi '(z)f^{2}(z)\right]',\quad u_{_{'''}}=\left[z'\varphi '(z)f^{3}(z)\right]'',\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b501d32a729b5dbab5211a44df518baaf6973d5e)
étant la fonction prime de
relativement à
seul.
Faisons maintenant
l’équation proposée
![{\displaystyle z=x+yf(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea91080f770b478fea07d2dea54f4e404667aec0)
donnera
donc
![{\displaystyle z'=1,\quad \varphi (z)=\varphi (x),\quad \varphi '(z)=\varphi '(x),\quad {\text{et}}\quad f(z)=f(x)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8fc956e2c9225da86525bc2abe4d12fcc1d79ac)
donc enfin
![{\displaystyle \mathrm {P} =\varphi (x),\ \ \mathrm {Q} =\varphi '(x)f(x),\ \ \mathrm {R} ={\frac {1}{2}}\left[\varphi '(x)f^{2}(x)\right]',\ \ \mathrm {S} ={\frac {1}{2.3}}\left[\varphi '(x)f^{3}(x)\right]'',\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/358444da18219029d0af52ce06f4aa8bf2580ace)
comme ci-dessus.
Pour montrer par une application l’usage de cette formule, soit proposée l’équation
![{\displaystyle z=x+yz^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78b6366151296443ce5135e8a2f0a514be51f676)
et
étant des quantités données, et qu’on demande la valeur de
en série suivant les puissances de
on fera donc
![{\displaystyle f(z)=z^{m},\quad \varphi (z)=z^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/385895a40a33470d14cf4b40d426d0c3d411651c)
donc aussi
![{\displaystyle f(x)=x^{m},\quad \varphi (x)=x^{n},\quad \varphi '(x)=nx^{n-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deeaeecaae1d62fa95399062faa62dd73a87920e)