Le résultat de cette élimination est
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)}{f'(x)+z'f'(z)}}={\frac {\operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)}{f'(y)+z_{_{'}}f'(z)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4878efe2b277b3d3a99312ac63150995665a04dc)
d’où résulte cette équation du premier ordre
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(x)+z'\left[\operatorname {F} '(z)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(z)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/997f78af4998f6d130760485dea4585d95950669)
![{\displaystyle +z_{_{'}}\left[\operatorname {F} '(x)f'(z)-\operatorname {F} '(z)f'(x)\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8d5dcaaef4f42080c7f1c298db61feb160a234b)
qui ne contient que
avec les fonctions primes
et ![{\displaystyle z_{_{'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aded9b56f137dab4a2a607c121de12cf879db2b)
Cette équation pourra donc être mise sous cette forme
![{\displaystyle z'+\mathrm {M} z_{_{'}}+\mathrm {N} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64e2bcd7cc17afd15ad94ba47f3c6be3e27b74e3)
en faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {M} =&{\frac {\operatorname {F} '(x)f'(z)-\operatorname {F} '(z)f'(x)}{\operatorname {F} '(z)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(z)}},\\\mathrm {N} \,=&{\frac {\operatorname {F} '(x)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(x)}{\operatorname {F} '(z)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(z)}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b32367dbb1606e6d4e3c8d0887278696035b5a4)
d’où l’on peut conclure :
1o Que toutes les équations du premier ordre entre
et
qui ne seront pas réductibles à la forme précédente ne pourront pas être dérivées d’une équation primitive entre
et
étant une fonction de
2o Que toutes les équations du premier ordre réductibles à la forme précédente pourront toujours avoir pour équation primitive une équation de la forme supposée
étant égal à
Car les valeurs des coefficients
et
étant données en fonction de
on aura deux équations par lesquelles on pourra déterminer les deux fonctions marquées par les caractéristiques
et
et la fonction marquée pour
demeurera arbitraire.
Ce problème étant l’un des plus intéressants de la théorie des fonctions, je vais en donner ici une solution directe.
90. Regardons, ce qui est permis,
et
comme des fonctions de
dont les fonctions primes soient
et
et considérons les deux quan-