puissent se présenter, si elles renferment deux constantes arbitraires
et
elles doivent être comprises dans les précédentes, et les constantes
et
ne pourront qu’être fonctions des constantes
et
Si donc on tire de ces équations primitives les valeurs des constantes
et
en
et que ces valeurs soient
et
en sorte que les équations dont il s’agit soient réduites à la forme
il s’ensuit que les fonctions
et
ne pourront être aussi que des fonctions de
et
Donc, puisque l’équation primitive d’où l’équation du premier ordre
est dérivée, est de la forme
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z)=\varphi (p)=\varphi \left[f(x,y,z)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/143fc8979fda8e33deedf16738ee55204d6b2048)
cette équation primitive deviendra
![{\displaystyle \operatorname {fonct} .(\mathrm {P,Q} )=\varphi \left[\operatorname {fonct} .(\mathrm {P,Q} )\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbdb47c10d57e01349e66c9801d5434e926717e0)
la fonction marquée par
demeurant arbitraire d’où il résulte que
sera une fonction quelconque de
de sorte que l’équation primitive de l’équation du premier ordre
![{\displaystyle z'+\mathrm {M} z_{_{'}}+\mathrm {N} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8dfa64c9f8ae984cb58839492435dcf45c855a6)
pourra être réduite, en général, à cette forme très-simple,
![{\displaystyle \mathrm {P} =\varphi (\mathrm {Q} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a756ef6c2aa250f2f16e90384954e72d27789f)
la fonction marquée par la caractéristique
étant arbitraire. Cette méthode réduit, comme l’on voit, la détermination de la fonction de deux variables à celle de deux fonctions d’une seule variable, et elle est surtout remarquable par la simplicité et la généralité du résultat.
91. La méthode précédente peut s’étendre aussi aux fonctions de plus de deux variables. Ainsi, si
est une fonction de trois variables
déterminée par l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z,u)=\varphi (p,q),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92707de2c256d410b96f663d2c2a75230b173644)
et
étant des fonctions données de
et
étant une