Ainsi
sera la tangente de l’angle que cette perpendiculaire qu’on appelle communément normale fera avec l’axe, et
sera la partie de l’axe comprise entre le point où elle coupe l’axe et l’ordonnée, c’est-à-dire la sous-normale.
Si les deux coordonnées
de la courbe étaient exprimées en fonction d’une troisième variable quelconque, alors, prenant
et
pour les fonctions primes de
et
relativement à cette autre variable, il n’y aurait qu’à mettre partout, dans les formules précédentes,
à la place de
(no 50, Ire Partie).
Il serait superflu d’appliquer ces formules à des exemples ; car, pour peu qu’on sache les premiers éléments du Calcul différentiel, on ne peut manquer d’apercevoir l’identité des formules précédentes avec les formules différentielles connues. Il suffit de mettre
à la place de la fonction dérivée
8. Prenons maintenant le cercle pour le comparer avec la courbe proposée. L’équation générale du cercle rapportée aux coordonnées rectangles
et
est
![{\displaystyle (p-a)^{2}+(q-b)^{2}=c^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15432542b699c1259d3edab45591128a159b2ce6)
où
et
sont les coordonnées qui répondent au centre et
est le rayon du cercle. De là on tire
![{\displaystyle q=b+{\sqrt {c^{2}-(p-a)^{2}}}=\operatorname {F} (p)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92bd74e32b834e0b0299d4a1ae3fd9068fd641e1)
donc
![{\displaystyle \operatorname {F} (x)=b+{\sqrt {c^{2}-(x-a)^{2}}},\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} '(x)=-{\frac {x-a}{\sqrt {c^{2}-(x-a)^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/934dd18581bfded8ca66332aa8c3686566d8eeea)
Faisons donc
![{\displaystyle \operatorname {F} (x)=f(x)=y,\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} '(x)=f('x)=y',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87e1ec9ba71a1b89ad598b9a88c012cead1017e6)
et tirons de ces équations les valeurs de
et la seconde donne
![{\displaystyle {\sqrt {c^{2}-(x-a)^{2}}}=-{\frac {x-a}{y'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84466d60edc9762065e2ed278c594c8504eeb1c8)