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D’un autre côté, comme l’équation $y=f(b)+bx$ est l’équation générale des tangentes de la courbe cherchée (n^o 15), on en peut conclure que pour avoir l’équation de cette courbe il n’y a qu’à regarder la constante arbitraire $b$ qui différentie les tangentes comme variable et la déterminer par la condition que l’équation prime relative à cette seule variable ait lieu en même temps, et de là on voit aussi que l’équation primitive singulière que nous avons trouvée pour l’équation du premier ordre donnée par le problème n’est autre chose que l’équation de la courbe formée par l’intersection continuelle des droites représentées par l’équation primitive complète de la même équation du premier ordre.

18. Après avoir ainsi éclairci la matière par un exemple, nous allons la traiter d’une manière générale. Soit, comme dans le n^o 10,

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0$

l’équation de la courbe du contact, que nous avons supposée ci-dessus une ligne droite, et soit

$\varphi (a,b)=0$

l’équation qui détermine la relation entre les deux éléments $a$ et $b,$ donnée par la nature du problème proposé ; suivant la théorie donnée dans ce même numéro, il faudra déterminer $a$ et $b$ par les deux équations

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} (x,y,a,b)'=0.$

Or nous avons vu dans la I^re Partie (n^o 46) que, si l’on élimine $a$ et $b$ des trois équations

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,\quad \operatorname {F} (x,y,a,b)'=0,\quad \operatorname {F} (x,y,a,b)''=0,$

on a une équation du second ordre entre $x,y,y'$ et $y'',$ que nous désignerons par $\mathrm {V} =0,$ et dont

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0$

sera l’équation primitive complète, $a$ et $b$ étant les constantes arbi-