traires ; nous y avons vu aussi que, si l’on élimine
ou
des deux premières, les deux résultantes seront des équations primitives du premier ordre de la même écluation
et dont celle-ci sera le résultat, en prenant de nouveau les fonctions primes et éliminant la constante qui y était restée (no 47). Donc, si de ces deux premières équations on tire les valeurs de
et
que nous désignerons par
et
en sorte que l’on ait
et
étant des fonctions de
et
qu’ensuite on prenne les fonctions primes de ces équations, en y regardant toujours
et
comme constantes, on aura les équations du second ordre
qui devront coïncider avec l’équation
de sorte qu’on aura nécessairement
![{\displaystyle \mathrm {P'=MV,\quad Q'=NV} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc2b6035f4ce5160cfe4f484f1d7b1e596b20b75)
et
étant des fonctions de
et
sans
car si, par exemple,
contenait encore
alors l’équation
donnerait, outre
cette autre équation du second ordre,
qui ne serait pas comprise dans la même équation
ce qui ne se peut.
Substituant donc ces valeurs de
et
dans l’équation du problème
![{\displaystyle \varphi (a,b)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a87730ac6b9019a1a6eff7b92415b23917b18cd)
on aura
![{\displaystyle \varphi (\mathrm {P,Q} )=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/607815723e805a7c8aced9b519e088bcf59bc853)
prenant ensuite l’équation prime, on aura
![{\displaystyle \mathrm {P'\varphi '(P)+Q'\varphi '(Q)} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b045c089df1236a0e6de487cd09ae28bf8aa7fd8)
en dénotant par
et
les fonctions primes de
prises relativement à
et
isolés ; donc, mettant pour
et
les expressions ci-dessus, cette dernière équation deviendra
![{\displaystyle \mathrm {V\left[M\varphi '(P)+N\varphi '(Q)\right]} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9041e8002eb30f64e6c25e5c835c97ee399897f)
laquelle se décompose naturellement en ces deux-ci :
![{\displaystyle \mathrm {V} =0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {M\varphi '(P)+N\varphi '(Q)} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02c26b478e0df436a9a583364a8d76f3277daeda)
La première,
sera du second ordre et aura pour équation primitive complète
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de5ce52f0c77745f80310332571847c7050f879e)