on aura
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b)'+a'\operatorname {F} '(a)+b'\operatorname {F} '(b)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7353a2b7541b7ec1568de39e86dab82df9fa94a5)
Mais on a déjà l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b)'=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad8c9128770023d0e29465da972aa7a94ceb6de2)
on aura donc nécessairement, dans la supposition de
et
variables, l’équation
![{\displaystyle a'\operatorname {F} '(a)+b'\operatorname {F} '(b)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aca0b9501f8f02f130f8f0a38ff3918844b562d6)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\frac {b'}{a'}}=-{\frac {\operatorname {F} '(a)}{\operatorname {F} '(b)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c58bf31e1de27364243522497692f6a860a6ee1d)
c’est la valeur de
qu’on peut trouver directement de cette manière, et qu’on voit clairement ne pouvoir être une fonction du premier ordre, puisqu’elle ne contient que les quantités
et ![{\displaystyle a,b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e77948cd629e270b0016a07b180865208c471c77)
Donc l’équation dont il s’agit sera, en dernière analyse, le résultat de l’élimination de
et
entre les quatre équations
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b)=0,\quad \varphi (a,b)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab8a5030b00d6786955b822943cc441d72cf764a)
![{\displaystyle \operatorname {F} '(a)+{\frac {b'}{a'}}\operatorname {F} '(b)=0,\quad \varphi '(a)+{\frac {b'}{a'}}\varphi '(b)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/423bc170197ffd6d11599374c504f4f213c04d3f)
dont les deux dernières sont les fonctions primes des deux premières, prises relativement à
et
et divisées par
l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aecdbd06bc6d4889921d552fc8fd9d58e395089)
n’est plus nécessaire ici et se trouve remplacée par l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} '(a)+{\frac {b'}{a'}}\operatorname {F} '(b)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c46c81c9ccce8c3c8176513f02b6c3830d5492a2)
qui en est une suite. Donc, si on réduit d’abord les deux premières en une seule par l’élimination de
il ne s’agira plus que de prendre l’équation prime de celle-ci relativement à
seul et d’éliminer ensuite a par le moyen de ces deux ; le résultat sera nécessairement le même qu’auparavant.