c’est-à-dire l’équation même de la courbe du contact, dans laquelle une seule des deux constantes
et
sera arbitraire, l’autre étant déterminée par l’équation même du problème
L’autre équation,
![{\displaystyle \mathrm {M\varphi '(P)+N\varphi '(Q)} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4b4d00cfe935ebff34b44776603184330e7035)
ne sera que du premier ordre et sans constante arbitraire ; mais, étant combinée avec l’équation
elle donnera, par l’élimination de
une équation entre
et
qui sera l’équation primitive singulière de cette dernière ![{\displaystyle \varphi (\mathrm {P,Q} )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20c9fd27a130bc83d50282ac8a46b304e0484c8a)
Cette équation sera donc le résultat de l’élimination des quantités
et
entre les quatre équations
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b)=0,\quad \operatorname {F} (x,y,a,b)'=0,\quad \varphi (a,b)=0,\quad \mathrm {M} \varphi '(a)+\mathrm {N} \varphi '(b)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ee2edf968506363e97795a8dd6a91b5a5cd0dad)
Or, en regardant
et
comme des fonctions de
et
les équations
![{\displaystyle a=\mathrm {P} ,\quad b=\mathrm {Q} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/851d9de2a29e1341fb8b07b10ac7dcc7f9ba1cd9)
résultant des deux premières, donnent ces deux équations primes
![{\displaystyle a'=\mathrm {P'=MV} \quad {\text{et}}\quad b'=\mathrm {Q'=NV'} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74b000ad3c29dfb36d049a73f483414e9c3b98de)
donc
![{\displaystyle \mathrm {\frac {N}{M}} ={\frac {b'}{a'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48324542c345a2dd8ae6a1acfbd9eefacbf5b926)
de sorte que la dernière équation se réduira à celle-ci,
![{\displaystyle \varphi '(a)+{\frac {b'\varphi '(b)}{a'}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6e4bc86a61af919819f9199bba8609acf9c3801)
qui n’est autre chose que l’équation prime de
divisée par
D’un autre côté, dans la supposition de
et
variables, il est évident que la fonction prime de
n’est pas simplement
mais qu’il y faut ajouter les termes dus à la variation de
et
qui sont
en désignant pa
et
les fonctions primes de
prises relativement à
et à
regardés comme seules variables. Donc, prenant les fonctions primes de l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de5ce52f0c77745f80310332571847c7050f879e)