CHAPITRE II.
Fonctions dérivées ; leur notation et leur algorithme.
8. Nous avons vu que le développement de
donne naissance à différentes autres fonctions
toutes dérivées de la fonction principale
et nous avons donné la manière de trouver ces fonctions dans des cas particuliers. Mais, pour établir une théorie sur ces sortes de fonctions, il faut rechercher la loi générale de leur dérivation.
Pour cela, reprenons la formule générale
![{\displaystyle f(x+i)=f(x)+pi+qi^{2}+ri^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b73ca232f7e471edfafafac14c93b81f1310203)
et supposons que l’indéterminée
devienne
étant une quantité quelconque indéterminée et indépendante de
il est visible que
deviendra
et l’on voit en même temps que l’on aurait le même résultat en mettant simplement
à la place de
dans
Donc aussi, le résultat doit être le même, soit qu’on mette, dans la série
à la place de
soit qu’on y mette
au lieu de
.
La première substitution donnera
![{\displaystyle f(x)+p(i+o)+q(i+o)^{2}+r(i+o)^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b306d83565b8473b38ff942e46b56952eae382fb)
savoir, en développant les puissances de
et n’écrivant, pour plus de simplicité, que les deux premiers termes de chaque puissance, parce que la comparaison de ces termes suffira pour les déterminations dont nous avons besoin,
![{\displaystyle f(x)+pi+qi^{2}+ri^{3}+si^{4}+\ldots +po+2qio+3ri^{2}o+4si^{3}o+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee3a9f86f42619b3d72539bb12bb32bea2f8591)