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Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/25

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CHAPITRE II.

Fonctions dérivées ; leur notation et leur algorithme.

8. Nous avons vu que le développement de donne naissance à différentes autres fonctions toutes dérivées de la fonction principale et nous avons donné la manière de trouver ces fonctions dans des cas particuliers. Mais, pour établir une théorie sur ces sortes de fonctions, il faut rechercher la loi générale de leur dérivation.

Pour cela, reprenons la formule générale

et supposons que l’indéterminée devienne étant une quantité quelconque indéterminée et indépendante de il est visible que deviendra et l’on voit en même temps que l’on aurait le même résultat en mettant simplement à la place de dans Donc aussi, le résultat doit être le même, soit qu’on mette, dans la série à la place de soit qu’on y mette au lieu de .

La première substitution donnera

savoir, en développant les puissances de et n’écrivant, pour plus de simplicité, que les deux premiers termes de chaque puissance, parce que la comparaison de ces termes suffira pour les déterminations dont nous avons besoin,