Pour faire l’autre substitution, soient
ce que deviennent les fonctions
en y mettant
pour
et ne considérant dans le développement que les termes qui contiennent la première puissance de
il est clair que la même formule deviendra
![{\displaystyle f(x)+pi+qi^{2}+ri^{3}+si^{4}+\ldots +f'(x)+p'io+q'i^{2}o+r'i^{3}o+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9debcf44cb47dfe603249903b3ed5effee62f2c0)
Comme ces deux résultats doivent être identiques quelles que soient les valeurs de
et de
on aura, en comparant les termes affectés de
de
de
etc.,
![{\displaystyle p=f'(x),\quad 2q=p',\quad 3r=q',\quad 4s=r',\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/527a841c80b4b9c1643e3b570904374bf7f137cb)
Maintenant, de même que
est la première fonction dérivée de
il est clair que
est la première fonction dérivée de
que
est la première fonction dérivée de
la première fonction dérivée de
et ainsi de suite. Donc, si, pour plus de simplicité et d’uniformité, on dénote par
la première fonction dérivée de
par
la première fonction dérivée de
par
la première fonction dérivée de
et ainsi de suite, on aura
![{\displaystyle p=f'(x),\quad {\text{et de là}}\quad p'=f''(x)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c79f6aa61cf4f2080442eb81c09c97da8d0499a)
donc
![{\displaystyle q={\frac {p'}{2}}={\frac {f''(x)}{2}},\quad {\text{et de là}}\quad q'={\frac {f'''(x)}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca02c2d5ff79f62ef12f5136ec6bebfc032f7898)
donc
![{\displaystyle r={\frac {q'}{3}}={\frac {f'''(x)}{2.3}},\quad {\text{et de là}}\quad r'={\frac {f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)}{2.3}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23db4bbb1a8a8fff18659c35f5162b19f1d95ed3)
donc
![{\displaystyle s={\frac {r'}{4}}={\frac {f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)}{2.3.4}},\quad {\text{et de là}}\quad s'={\frac {f^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}(x)}{2.3.4}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c2406823d157697bef95f79d09285b9bc164688)
et ainsi de suite.
Donc, substituant ces valeurs dans le développement de la fonction
on aura
![{\displaystyle f(x+i)=f(x)+f'(x)i+{\frac {f''(x)}{2}}i^{2}+{\frac {f'''(x)}{2.3}}i^{3}+{\frac {f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)}{2.3.4}}i^{4}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75ee1a1734a47b47669961be947e912f04e2c2c5)