de sorte qu’on aura, par la formule générale du no 8,
![{\displaystyle (x+i)^{m}=x^{m}+mx^{m-1}i+{\frac {m(m-1)}{2}}x^{m-2}i^{2}+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}x^{m-3}i^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4cce5f2b5b208e3f5da4a8fc54d8a8c70e3ba19)
ce qui est la formule connue du binôme, laquelle se trouve ainsi démontrée pour toutes les valeurs de
.
11. Soit en second lieu
on aura
![{\displaystyle f(x+i)=a^{x+i}=a^{x}a^{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2694b9ab02b594d3f48aeb2aad2489876cc2a962)
Ainsi tout se réduit à trouver les deux premiers termes de la série de
développée suivant les puissances de
.
Soit, pour cela,
alors
![{\displaystyle a^{i}=(1+b)^{i}=1+ib+{\frac {i(i-1)}{2}}b^{2}+{\frac {i(i-1)(i-2)}{2.3}}b^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3ba45e90aa1d4d1db2a83d0295cb9d03b6b5c97)
par la formule que nous venons de démontrer. Développant les produits de
et ordonnant les termes suivant les puissances de
on trouvera que les termes multipliés par
forment cette série ![{\displaystyle i\left(b-{\frac {b^{2}}{2}}+{\frac {b^{3}}{3}}-\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20de37ba098414ece99d7928ba20331c1c680da2)
Donc, faisant pour abréger
![{\displaystyle \mathrm {A} =b-{\frac {b^{2}}{2}}+{\frac {b^{3}}{3}}-\ldots =(a-1)-{\frac {(a-1)^{2}}{2}}+{\frac {(a-1)^{3}}{3}}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71a771f31324550d84cd86b2177a73bf223cd972)
les deux premiers termes de la valeur de
en série seront
on aura par conséquent
![{\displaystyle f'(x)=\mathrm {A} a^{x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a6f9adefcfef0d19190ca57c296751b43e9e5fd)
On tirera de là, par la même opération répétée,
![{\displaystyle f''(x)=\mathrm {A.A} a^{x}=\mathrm {A} ^{2}a^{x},\quad f'''(x)=\mathrm {A} ^{3}a^{x},\quad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58ab54281dee091ed6223072a072eacfe3896956)
on aura ainsi
![{\displaystyle f(x+i)=a^{x+i}=a^{x}\left(1+\mathrm {A} i+{\frac {\mathrm {A} ^{2}i^{2}}{2}}+{\frac {\mathrm {A} ^{3}i^{3}}{2.3}}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f6e500e4dfb88b26b441dbe3d62ddcc6017ce14)