Divisant par
et changeant
en
on aura la série connue
![{\displaystyle a^{x}=1+\mathrm {A} x+{\frac {\mathrm {A} ^{2}x^{2}}{2}}+{\frac {\mathrm {A} ^{3}x^{3}}{2.3}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3213fae72af27628bf5f62f45e9270bc9de9b6d5)
12. Si dans cette formule on fait
on aura
![{\displaystyle a=1+\mathrm {A} +{\frac {\mathrm {A} ^{2}}{2}}+{\frac {\mathrm {A} ^{3}}{2.3}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f5471b478388eed74072da84cbcbc361295adbf)
et, si l’on fait
on aura
![{\displaystyle a^{\frac {1}{\mathrm {A} }}=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2.3}}+{\frac {1}{2.3.4}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aed47c706af8e0f58cb1671461325b0ef78233f)
Ainsi la quantité
est égale à un nombre constant, qui est la valeur de
lorsque
et par la série précédente on trouve
![{\displaystyle a^{\frac {1}{\mathrm {A} }}=2{,}71828\ 18284\ 59045\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61e7218e1c6b87f26167614bbcad3d2f8ea959c3)
C’est le nombre qu’on désigne ordinairement par
de sorte que la relation entre
et
se trouve exprimée d’une manière finie par l’équation
laquelle donne ![{\displaystyle a=e^{\mathrm {A} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/facd747e091077eacd5a4a50232286d937d369a3)
Donc, si
on aura
et par conséquent
![{\displaystyle f'(x)=me^{mx},\quad f''(x)=m^{2}e^{mx},\quad f'''(x)=m^{3}e^{mx},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf7217c55782bb7df1cb8284483c72c48dfd44e)
d’où l’on tirera, comme ci-dessus,
![{\displaystyle e^{mx}=1+mx+{\frac {m^{2}x^{2}}{2}}+{\frac {m^{3}x^{3}}{2.3}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d84a57a28a3b3a2ec06984394340ef29ddeb83d6)
Or, dans l’équation
est ce qu’on appelle le logarithme de
étant la base du système logarithmique, c’est-à-dire le nombre dont le logarithme est l’unité, de sorte que cette équation donne
pour la base
Par la même raison, l’équation
donnera
pour la base
et
pour la base
.
Dans le système des logarithmes ordinaires, la base a a été prise