70. Si les valeurs de
n’étaient pas données pour les valeurs
et
de
mais qu’il y eût seulement, par la nature du problème, une relation entre ces quantités, représentée par l’équation
![{\displaystyle \varphi (x,y,y',\ldots )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcae1c5cf0e5cf2a1f0aa84256d563a114ae073f)
alors, suivant les principes du no 58, il n’y aurait qu’à ajouter à la fonction, qui doit être positive pour le minimum et négative pour le maximum, la quantité
![{\displaystyle \omega \varphi '(y)+\omega '\varphi '(y')+\omega ''\varphi '(y'')+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93abb8f5782459fa2da40215260a1601be364715)
![{\displaystyle +{\frac {1}{2}}\omega ^{2}\varphi ''(y)+\omega \omega '\varphi ''(y,y')+{\frac {1}{2}}\omega '^{2}\varphi ''(y')+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea4c27983de75a8f329b80c641552a7275ee95b9)
multipliée par un coefficient indéterminé
et traiter ensuite les quantités
comme indépendantes. Ainsi, si la condition dont il s’agit doit avoir lieu pour la valeur de
on ajoutera aux deux quantités
et
(nos 63, 67) les quantités
![{\displaystyle \Gamma \left[\omega \varphi '(y)+\omega '\varphi '(y')+\ldots \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e6e24d5323bdec6e554566288aa0aba8ca4421b)
et
![{\displaystyle \Gamma \left[{\frac {1}{2}}\omega ^{2}\varphi ''(y)+\omega \omega '\varphi ''(y,y')+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56190ee308cfa5b687f8e6d6fc93697ce292a8cf)
rapportées à la même valeur de
et, si cette condition devait avoir lieu pour la valeur
on ajouterait aux valeurs de
et de
les mêmes quantités rapportées à ![{\displaystyle x=b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48ec1eb0ca109258cd5d8ec5c725906802c4a09b)
On suivrait le même procédé pour chacune des conditions données, s’il y en avait plusieurs.